[原创]魔方循环变换理论概述（待完善） - 第11页 - ★ 计算机最少步理论版 (Software Solver Theory) - 魔方吧·中文魔方俱乐部

ggglgq 发表于 2007-5-26 17:33:03

“奇偶差异性”魔方的判定  <div class="msgheader">QUOTE:</div><div class="msgborder">以下是引用ggglgq在2005-11-16 10:47:39的发言：           具有“奇偶差异性”魔方的定义         定义：如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。    即：具有“奇偶差异性”的魔方，只能有步长为偶数的循环变换。    例如：    1. 最简单的“开关”魔方具有“奇偶差异性”，她只有一个长度为 2 的循环变换；    2. 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；   <img alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border="0"/>   3. 通常意义的正六面体 N 阶魔方全部都具有“奇偶差异性”，因为她们只有长度 为偶数的循环变换。  注意：如 U2 算两步。  </div>      如何判定一个魔方是否是“奇偶差异性”魔方呢？

ggglgq 发表于 2007-5-26 17:38:18

“奇偶差异性”魔方的判定
 
    一、根据 <A href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=18&ID=153&replyID=45727&skin=1">“奇偶差异性”魔方的定义</A> 判定：   
      对于某些魔方，我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义，判定 这个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。   
      比如：1、正十二面体三阶魔方存在 步长为 5  的“循环变换”，故   正十二面体三阶魔方  非“奇偶差异性”魔方。             2、2×2 平面魔方只有长度为 2、4、6、8 的循环变换，因此 2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。
<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>
       由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大，无法一一列举 来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方，我们可以通过下面的判定定理来判定。           
 

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:44 编辑 ]

ggglgq 发表于 2007-5-26 17:42:19

二、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理判定：   
        1、魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换移动 魔方块，如果魔方块的位态与变换移动的步长存在“奇偶”相关性，那么 我们称这个魔方块的位态具有“奇偶差异性”。    （即：魔方块的位态 与移动魔方块的步长具有“奇偶”相关关系，“奇数”的位态只能“奇数” 步到达，“偶数”的位态只能“偶数”步到达，不能互相参合） <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2007-5/20075281735499952.gif" border=0> 
        2、“奇偶差异性”魔方的判定定理：如果魔方的每个块的所有位态都 具有“奇偶差异性”，那么这个魔方具有“奇偶差异性”。   
        定理的证明采用反证法：假设这个魔方非“奇偶差异性”，那么至少 存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的 位态。因此得到至少存在一个魔方块移动步长为“奇数” 却处在“偶数” 的位态。     这与该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾， 故定理得证。   
        上面的定理告诉我们，只须考察魔方的所有块的所有位态是否 具有“奇偶差异性”，就可以判定这个魔方  是否具有“奇偶差异性”了。 说是魔方的所有块，实际往往根据魔方的对称性，只须判定几个“代表块”， 其它的可同理得证。
    
            

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:51 编辑 ]

ggglgq 发表于 2007-5-26 17:45:03

三、需要说明的几点：        1.如果考虑正六面体奇阶魔方中心块问题（即大家所说的全色魔方）， 它的“奇偶差异性”可由正六面体奇阶魔方中心块的位态的“奇偶差异性”得到。 即由中心块的位态具有“奇偶差异性” 得：正六面体奇阶魔方是“奇偶差异性” 魔方。        2.如果不考虑中心块问题，那么任何的变换都不会影响它的中心块 位态，即任何变换相对于中心块的移动步长都为 0 。          所以任意不考虑中心块的中心块魔方都是 “奇偶差异性”魔方。          如：不考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是“奇偶差异性” 魔方。               而不考虑中心块正十二面体五魔方却非 “奇偶差异性”魔方。           因此不考虑中心块的正六面体 N 阶魔方（即大家所说的纯色魔方）  的“奇偶差异性” 可由它的所有棱、角块是否都具有“奇偶差异性”来判定。        3.对于不考虑中心块的正六面体 N 阶魔方（即大家所说的纯色魔方）， 如果每个面旋转 180 °必须按两步计算，大家可由 “奇偶差异性”魔方判定定理 判定出正六面体 N 阶魔方是“奇偶差异性”魔方。 同理如果每个面只能旋转 180 °，正六面体 N 阶魔方也是“奇偶差异性”魔方。
[此贴子已经被作者于2007-5-28 17:39:03编辑过]

乌木发表于 2007-5-26 19:36:48

不好懂啊！上面说： “3. 通常意义的正六面体N 阶魔方全部都具有‘奇偶差异性’，因为她们只有长度为偶数的循环变换。 注意：如 U2 算两步。”上面又说： “比如：1. 正六面体三阶魔方每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，存在 U U2 U 的“循环变换”，故正六面体三阶魔方相对于每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方非‘奇偶差异性’魔方。”那么，一个正六面体三阶魔方究竟是还是不是“奇偶差异性”魔方呢？180°算一步和算两步，结论就完全相反，对吗？如果对的，那么，恐怕问题会多多……上面说： “‘奇数’的位置只能‘奇数’步到达，‘偶数’的位置只能‘偶数’步到达，不能互相参合。”  并且给出了这个图（经删节）： 图0和图3不是同一位置吗？某一个棱块在这位置上可以有两种颜色取向，不等于这是两个位置吧？否则，是否要说“三阶魔方共有24个棱块位置”呢？此外，图2位置相对于图0位置来说是偶位置；但是相对于图1来说，又是奇位置。可见，讲一个位置的奇偶，必须涉及两个位置。既不是这个位置的性质，也不是那个位置的性质，而是所涉一对位置的相互关系；而且是奇还是偶，还与棱色取向有关。g老师说的是这意思吗？上面说： “如：不考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是‘奇偶差异性’魔方。而不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”这里说的两种“五魔方”区别是什么？是不是一种的中心块因为印有图案之类而具有了方向性，另一种则无？如果是的，哪一种有？哪一种无？
[此贴子已经被作者于2007-5-26 20:20:55编辑过]

ggglgq 发表于 2007-5-28 08:53:08

还是分别回答清楚些。  <hr/> <div class="msgheader">QUOTE:</div><div class="msgborder">以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言： 上面说： “3. 通常意义的正六面体N 阶魔方全部都具有‘奇偶差异性’，因为她们只有长度为偶数的循环变换。 注意：如 U2 算两步。”上面又说： “比如：1. 正六面体三阶魔方每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，存在 U U2 U 的“循环变换”，故正六面体三阶魔方相对于每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方非‘奇偶差异性’魔方。”那么，一个正六面体三阶魔方究竟是还是不是“奇偶差异性”魔方呢？180°算一步和算两步，结论就完全相反，对吗？</div>      对！

ggglgq 发表于 2007-5-28 08:55:37

<div class="msgheader">QUOTE:</div><div class="msgborder">以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言： 上面说： “‘奇数’的位置只能‘奇数’步到达，‘偶数’的位置只能‘偶数’步到达，不能互相参合。”  并且给出了这个图（经删节）：<img src="attachments/dvbbs/2007-5/200752619204580456.gif" border="0" onclick="zoom(this)" onload="if(this.width>document.body.clientWidth*0.5) {this.resized=true;this.width=document.body.clientWidth*0.5;this.style.cursor='pointer';} else {this.onclick=null}" alt="" /> 图0和图3不是同一位置吗？某一个棱块在这位置上可以有两种颜色取向，不等于这是两个位置吧？否则，是否要说“三阶魔方共有24个棱块位置”呢？此外，图2位置相对于图0位置来说是偶位置；但是相对于图1来说，又是奇位置。可见，讲一个位置的奇偶，必须涉及两个位置。既不是这个位置的性质，也不是那个位置的性质，而是所涉一对位置的相互关系；而且是奇还是偶，还与棱色取向有关。g老师说的是这意思吗？</div>       乌木先生的意思我很明白。我在这里只是为了叙述“简明”才用“位置”这一 概念的！我想实在是没有必要再给“位置”下一个定义了！    因为各类“奇偶差异性”魔方（比如一维、二维、三维或高维魔方）的情形 比较复杂，因此我统一用“位置”表述。我做图的意思就是为了让大家认识到这一点。 这里顺便强调一点：同一“位置” 的不同的魔方块也具有“奇偶差异性”，我就 不扩展说明了，这个问题有能力的魔友可以考虑一下的。

ggglgq 发表于 2007-5-28 08:58:58

<div class="msgheader">QUOTE:</div><div class="msgborder">以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言： 上面说： “如：不考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是‘奇偶差异性’魔方。而不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”这里说的两种“五魔方”区别是什么？是不是一种的中心块因为印有图案之类而具有了方向性，另一种则无？如果是的，哪一种有？哪一种无？ </div>       请您注意“中心块魔方”是不包含其他棱块、角块的！    这句话的意思委婉地说：考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是 非“奇偶差异性”的魔方。    魔方的“循环变换”、“奇偶差异性”等概念的内涵与外延是极其丰富的！

乌木发表于 2007-5-28 11:01:39

谢谢答疑。
原来这样。112楼中回答：“对”，那么，与其说一个如此这般的魔方是或非“奇偶差异性”魔方，倒不如说有关的一串操作（因计数方法的不同而）是或非“奇偶差异性”操作。到目前我是这样认识的。
照113楼的答复，倒不必另外定义“位置”的，但不宜用“位置”来描述这问题，是否改用“位态”？指定一个棱块，它在三阶魔方中的位置可以有12个，每一位置上又可以有两种状态，所以它有24个“位态”。对于一个指定的角块，其在三阶魔方中的“位态”有8×3＝24个。对于一个指定的中心块，它在奇阶魔方中有1×4＝4个“位态”。考虑到魔方变化的内在规律，一个块的所有“位态”不能任意体现的，态态之间有一定的制约关系，除非拆散后任意组装。
照114楼的答复，“中心块魔方”是不包含其他棱块、角块的。好，那么，我的引言中、您说的两种五魔方，一种是“不考虑中心块的‘中心块（五）魔方’”；另一种是“不考虑中心块的五魔方”。
前者仅剩下内部轴架了，什么块都没了，怎么讨论它的什么什么性质呢？
后者是（设想）拆去12个中心块的“镂空球”似的东西（或者12个中心块做得完全一样，不可分辨）。
有意思的是，我所引的、您说的第二种是“不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”，而114楼的“委婉”答复又变成了“考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方，是非“奇偶差异性”的魔方。”
“不考虑中心块”变成“考虑中心块”，“五魔方”（有棱、角）变成“中心块魔方”（无棱、角）。这么变动之后，“镂空球”变成“反镂空球”（即仅剩下12个中心块，没了棱和角，或者所有的棱和角都一个样），是不是？哪种才是“非‘奇偶差异性’的魔方”呢？
此类“魔方”不好玩，至少后一种不好玩－－因为“反镂空球”不存在“打乱－复原”问题了。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-12 10:43 编辑 ]

ggglgq 发表于 2007-5-28 17:42:29

“位态”这个词好，感谢乌木先生的提醒，采纳乌木先生“位态”的建议， 帖子已经做了修正！     欢迎大家提出好的建议，让我们大家共同完善“循环变换理论”！

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