[原创]魔方小块状态数定律

邱志红 发表于 2005-11-21 15:42:20

魔方小块状态数定律 

 作者：邱志红 


 魔方由小块构成，当魔方的转层转动时，小块的状态就开始发生变化，包括位置与色向的变化。那么每个小块有多少种不同的状态呢？不同簇的小块状态数是一样多吗？顶点排布相同但内部结构不同的魔方小块的状态数一样吗？判断及计算依据又是什么？ 


 这些都是我这里要解答的。 


1.计算原理 


将魔方整体以魔方的中心旋转，顶点位置互相替换。这样魔方整体就呈现出各种不同的状态（整体位置同，色向不同）。整体状态前后不同导致所有小块状态前后就也不同。只要计算出魔方整体的状态数就可以得到小块的状态数。 


2.计算方法 


固定魔方的中心，旋转魔方，顶点位置互相替换，计算出顶点的排列组合即可。 


3.定律推论 


⑴.一个魔方中所有小块的状态数是一样的。 


⑵.魔方整体的状态数等于每个小块的状态数。 


⑶.状态数只与魔方的顶点排布及排列组合有关，与魔方结构无关。 


4.应用举例 


⑴N阶立方体魔方，顶点的排列组合为8×3=24。 “<st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="8" UnitName="”" w:st="on">8”</st1:chmetcnv>指第一个顶点可以被8个顶点中的任意一个占据。再来确定其相邻的顶点，只有三种可能性，这就是“<st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="3" UnitName="”" w:st="on">3”</st1:chmetcnv>。这样魔方整体的状态就确定下来了。于是N阶立方体魔方都是24状态，所有小块也都是24状态。 


⑵Square One，表面是立方体，实质是捆绑的12棱柱。顶点的顶点的排列组合为24×1=24。“<st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="24" UnitName="”" w:st="on">24”</st1:chmetcnv>指它的第一个顶点可以被24个顶点中的任意一个占据。观察得到这样捆绑的12棱柱整体的状态就确定下来了。它恰巧也是24状态了，但得到的过程与N阶立方体魔方完全不同，不要混为一谈。 


⑶Tetra,Pyraminx等等正四面体魔方，顶点的排列组合为4×3=12。“<st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="4" UnitName="”" w:st="on">4”</st1:chmetcnv>指第一个顶点可以被4个顶点中的任意一个占据，“<st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="3" UnitName="”" w:st="on">3”</st1:chmetcnv>指相邻的顶点有三种可能性。这样魔方整体的状态就确定下来了。虽然结构不同，但顶点排布一样，状态数就一样，都为12。 


⑷五魔方，Crystal,PentUltimate，顶点的排列组合为20×3=60。 Dogic,Tricosa, 顶点的排列组合为15×5=60。 


⑸Diagonal Cube，顶点的排列组合为8×1=8。虽然是立方体，但确定一个顶点以后，魔方整体的状态就确定下来了。 


类似的还有SkebUltimate，顶点的排列组合为4×3=12。某一个顶点不是所有12顶点都能替换的，只有4个能够，所以不是12而是4。相邻的顶点有三种可能性。 


 还有更多的，就不一一举例了。 


5.注意事项 


⑴要去掉魔方的修饰，简化为最本质的几何体结构，再来计算。 


⑵计算顶点的排列组合，要注意有些地方顶点能否替换。 





总结：顶点排布及排列组合与魔方外观形状是两回事，不要仅从形状来考虑。由于一个魔方中所有小块的状态数是一样的，计算状态数的时候可以只计算一块就行了， 所以不一定要从计算顶点排列组合入手。魔方小块的状态数可以作为魔方复杂程度的一个重要参数。
 
[此贴子已经被作者于2005-11-23 9:48:14编辑过]

清道夫2 发表于 2005-11-21 18:29:07

邱志红说:
一个魔方中所有小块的状态数是一样的。
清道夫说:
对三阶而言,一个中心块有四种状态,一个边角块有24种状态 
 清道夫问:
1.你的小块状态定理在正方体色子阵魔方上,与N阶定律相关的描述是不是等价的或有何差异
2.邱兄弟能不能用你的状态定理,给出N阶魔方状态数计算原理与计算方法并给出计算结果,以此验证你的定理.
[此贴子已经被作者于2005-11-21 18:55:33编辑过]

邱志红 发表于 2005-11-21 19:05:17

<DIV class=quote>以下是引用清道夫2在2005-11-21 18:29:07的发言： 
邱志红说:
一个魔方中所有小块的状态数是一样的。
清道夫说:
对三阶而言,一个中心块有四种状态,一个边角块有24种状态 
 清道夫问:
1.你的小块状态定理在正方体色子阵魔方上,与N阶定律相关的描述是不是等价的或有何差异
2.1.邱兄弟能不能用你的状态定理,给出N阶魔方状态数计算原理与计算方法并给出计算结果,以此验证你的定理. </DIV>

中心块有四种状态这不太对,中心块难道就真的不能移动位置吗?大家都知道不是不能,是可以不,也就是--能.
既然能就也要考虑这些可能存在的情况.
另外我的主题已经相当明确了,是讨论小块个体的状态数问题.而不是讨论小块与小块之间互相影响以后的魔方整体的状态数的.
我只讨论N阶魔方中24是怎么得到的,不讨论三阶4.3×10e19等等是怎么得到的.
另外注意:这里的不是状态定理,是状态数定理.
[此贴子已经被作者于2005-11-21 19:08:55编辑过]

清道夫2 发表于 2005-11-21 19:17:06

1.据我所知,三阶的中心块只能手工交换位置,至于如何通过转动交换请邱兄弟指教
2."4.3×10e19"是状态还是状态数?
3.魔方的整体状态难到不是单个块状态的集合?单个块的状态都说清楚了,难到就不能说清楚整体状态?
4.24问题不是早有定论?
5.单个块状态,不就一句话:4状态块与24状态块(对正方体色子阵魔方而言)
[此贴子已经被作者于2005-11-21 19:21:40编辑过]

邱志红 发表于 2005-11-21 19:24:08

看看以前的相关讨论吧.
<DIV class=quote>以下是引用邱志红在2005-6-4 10:07:33的发言： 应该从一般的N阶魔方的角度统一考虑，不要老从三阶出发考虑问题，三阶太特殊了。会影响到你对一般N阶魔方的理解。三阶魔方的中间层不是不可以转动。但一般为了描述操作的简便就用了等价的办法即：用两个外层的转动来等价其转动。但在高阶中就不行了，高阶的中间层必须转动。所以为了一般的N阶魔方转动的描述。还是承认三阶魔方的中间层可以独立自由转动的比较好。那样内部的一阶魔方也有24状态了。这样所有的N阶魔方的所有小块就都有24状态了，岂不是很不好。</DIV>
<DIV class=quote>以下是引用大烟头在2005-6-4 10:15:40的发言： 说的太好了，严重支持。</DIV>
<DIV class=quote>以下是引用noski在2005-6-4 15:01:04的发言： 
对不能把三阶内部的"支架"固定不动的来看</DIV>
<DIV class=quote>以下是引用pengw在2005-6-5 18:37:18的发言： 
所有阶鲁毕克魔方都是24相关的,偶阶还有24同态,这基本上是一个基础公理</DIV>
<DIV class=quote>以下是引用乌木在2005-6-4 0:18:39的发言： 
15楼说：“应该可以这样说N阶魔方的每种块都有24变化状态。应该说是每个块，即N*N*N个块，包括内部和外部的。”</DIV>很早以前讨论魔方与24的时候,大家都是这么认可的.

邱志红 发表于 2005-11-21 19:37:31

<DIV class=quote>以下是引用清道夫2在2005-11-21 19:17:06的发言： 
1.据我所知,三阶的中心块只能手工交换位置,至于如何通过转动交换请邱兄弟指教
2."4.3×10e19"是状态还是状态数?
3.魔方的整体状态难到不是单个块状态的集合?单个块的状态都说清楚了,难到就不能说清楚整体状态?
4.24问题不是早有定论?
5.单个块状态,不就一句话:4状态块与24状态块(对正方体色子阵魔方而言) </DIV>

中心块还是面心块?你没有说清楚,我也跟着不好回答.
"魔方的整体状态难到不是单个块状态的集合?单个块的状态都说清楚了,难到就不能说清楚整体状态?"
照你这样说三阶魔方状态数应该为24e27? 当然不是这样,因为小块之间有各种制约关系.但我这里讨论的不是这个问题,只讨论单个自由的小块的所有可能状态的总数.
最后,单个块状态,不就一句话:24状态块.

清道夫2 发表于 2005-11-21 19:48:12

1.我的讨论从来不涉及魔方表面以外的虚拟,中心块自然是表面的中心块
2.你举一个2n+1阶魔方，中心块之间的相对位置（不是色向）可以发生变化，到底是你理解错了N阶魔方，还是我理解错了？
3.照你的中心块可交换的说法，那么国际官方组织的计算就大错特错，你总不能为了你的需要，而随意杜撰子虚乌有的魔方性质吧 
[此贴子已经被作者于2005-11-21 19:58:49编辑过]

邱志红 发表于 2005-11-21 20:02:44

<DIV class=quote>以下是引用清道夫2在2005-11-21 19:48:12的发言： 
1.我的讨论从来不涉及魔方表面以外的虚拟,中心块自然是表面的中心块
2.你举一个2n+1阶魔方，中心块的相对位置（不是色向）可以发生变化，而不仅仅是三阶</DIV>

"中心块的相对位置"这又涉及到了小块之间的联系.
我再说一次,我这里讨论的是绝对的空间位置,而不是相对位置,
是对小块的单体研究,不涉及小块之间的约束及扰动等问题.
所以中心块的绝对位置是完全可以变化的(虽然相对位置不变).

要讨论整体的状态数就必须考虑相对性. 但讨论单个的状态数就不需要了.
[此贴子已经被作者于2005-11-21 20:13:26编辑过]

邱志红 发表于 2005-11-21 20:09:08

<DIV class=quote>以下是引用清道夫2在2005-11-21 19:48:12的发言： 
2.你举一个2n+1阶魔方，中心块之间的相对位置（不是色向）可以发生变化，到底是你理解错了N阶魔方，还是我理解错了？
3.照你的中心块可交换的说法，那么国际官方组织的计算就大错特错，你总不能为了你的需要，而随意杜撰子虚乌有的魔方性质吧 </DIV>
一句话:理解的角度不一样,研究的方向不一样. 
正所谓:横看成岭侧成峰是也.
单体性质和整体性质都是魔方的性质,哪来的杜撰?你混为一谈了.
[此贴子已经被作者于2005-11-21 20:18:21编辑过]

清道夫2 发表于 2005-11-21 20:21:09

一个原地打转的中心块，凭什么有24状态？给个说法。你说三阶太特殊，那么五阶魔方的中心块是如何相互换位的？
[此贴子已经被作者于2005-11-21 20:23:39编辑过]

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