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又一个关于魔方的数学趣题 [复制链接]

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发表于 2012-12-8 21:20:24 |显示全部楼层
最近迷上最少步,研究的时候发现一个问题:
当一个三阶魔方已还原n个时(注意,是面,面!),魔方可能有几种形态?
举例:当n=0时,为总形态数(那个数我背不过)
   当n=6时,只有一种形态
   当n=5时,同n=6
问题:
(1)当n=1/2/3/4时,各有多少种形态?
(2)当不为三阶魔方时(如二阶、高阶),以上数目各为多少?
(3)当包括拆散重拼情况时,又各有多少种情况?

我智商不行,琢磨半天也想不出来,求大神指教
PS:最好给出计算过程,不给也可以

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四年元老

发表于 2012-12-8 21:26:14 |显示全部楼层
请问魔方如何还原5个面。。
= =。。

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发表于 2012-12-8 21:43:06 |显示全部楼层
4个面都没见过

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发表于 2012-12-8 21:57:46 |显示全部楼层
晓小吃迪 发表于 2012-12-8 21:26
请问魔方如何还原5个面。。

1楼说“当n=5时,同n=6”,意思就是,纯色三阶无法只复原5面,留下一面未复原。也就是,复原5面后,第6面也一定复原了。

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发表于 2012-12-8 22:29:05 |显示全部楼层
哈哈哈,数学没学好~·

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发表于 2012-12-8 22:29:13 |显示全部楼层
三阶纯色魔方,参照中心块组,单单一面同色的条件下,这一面的四个角块的位置变化数为4!=24,四个棱块的位置变化数也是4!=24,所以这一面的状态数为4!*4!=576。这第一层没有色向变化。
余下4个角块和8个棱块,位置并色向变化数为
4!*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
(除以2是因为整个魔方不能单单交换两个块,并非余下12个块之中不能单单交换两个块。如果第一面含有单单交换两个块,则余下的12块必须含有单单交换两个块;如果第一面不含有,余下的12块也不含有。)
所以,单单一个面同色的条件下,相对于中心块而言,该三阶纯色魔方的状态数为
576*4!*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
不知对不对,请各位指正。

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发表于 2012-12-8 22:32:34 |显示全部楼层
乌木 发表于 2012-12-8 22:29
三阶纯色魔方,参照中心块组,单单一面同色的条件下,这一面的四个角块的位置变化数为4!=24,四个棱块的位 ...

乌木大哥神技术,回帖真快
这个思路应该是正确的,但是除以2那一步不太明白

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发表于 2012-12-8 22:38:42 |显示全部楼层
余挺 发表于 2012-12-8 21:43
4个面都没见过

从复原态出发,想办法仅仅破坏两个面(或邻面,或对面),就相当于只复原4个面。

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发表于 2012-12-8 22:50:00 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2012-12-8 22:55 编辑
小鸿99 发表于 2012-12-8 22:32
乌木大哥神技术,回帖真快
这个思路应该是正确的,但是除以2那一步不太明白


三阶魔方不能单单交换两个块(无论角块还是棱块),想必你是知道的。

但是,交换两个角块和两个棱块,或交换两个角块和再交换另两个角块,或交换两个棱块和再交换另两个棱块,则都是允许的。
所以,上面我的叙述中,第一面若有(就第一面而言的)单单交换两个块的情况,此时,第二层和第三层就一定也有单单交换两个块的情况,整个魔方就是转得出态了。
第一面若没有(就第一面而言的)单单交换两个块的情况,此时,第二层和第三层就一定也没有单单交换两个块的情况,整个魔方也是转得出态了。

上面的计算中,与位置变化数有关的因子是4!,4!,4!和8!,都是角块和棱块拆下后再随机组装的变化数,它们的乘积有一半是转不出态(即含有单单交换两个块的态),只要简单地除以2就排除了。

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四年元老

发表于 2012-12-8 23:07:52 |显示全部楼层
乌木 发表于 2012-12-8 21:57
1楼说“当n=5时,同n=6”,意思就是,纯色三阶无法只复原5面,留下一面未复原。也就是,复原5面后,第6面 ...

好吧是我脑残了= =。。
= =。。

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