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有多少个三角形？ [复制链接]

华容道

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发表于 2012-4-12 06:33:35 |只看该作者 |倒序浏览

由凸n边形及其全部对角线所组成的图形中最多有多少个三角形？

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玉逸风

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发表于 2012-4-12 07:37:48 |只看该作者

在n中取3的所有组合数，我的观点

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schuma

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发表于 2012-4-12 07:52:38 |只看该作者

回复 2# 的帖子

如果要求三角形的顶点必须是n个顶点里的，那就是你说的数。如果不一定用那n个顶点的话，就多多了

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华容道

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发表于 2012-4-12 08:59:30 |只看该作者

回复 3# 的帖子

不一定用那n个顶点。

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发表于 2012-4-12 12:20:06 |只看该作者

C(n,3)+nC(n-1,3)+nC(n-2,4)+C(n,6)
(经8楼提醒，改成C(n,3)+nC(n-1,3)+nC(n-1,4)+C(n,6)

[ 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-4-13 11:28 编辑 ]

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Fenz

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发表于 2012-4-12 16:55:15 |只看该作者

约定组合函数C(a,b)=a!/(b!(a-b)!)，和楼上相同的记法
满足条件的n边形有n条边，C(n,2)-n条对角线，过一点的对角线有n-3条。
任意三条对角线可组成一个三角形，数量为C(C(n,2)-n,3)；
两条相邻边及一条确定的对角线可组成一个三角形，数量为n；
一条边和过其两个端点并相交的两条对角线，可以组成一个三角形，这其中三角形三个顶点都在多边形定点的有n(n-4)个，其余nC(n-2,2)个。
总数为：C(C(n,2)-n,3)+nC(n-2,2)+n(n-3)
此式适用于n>=4，当n=3时显然三角形个数是1

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