二阶的状态数的怀疑

冰七灵

<P>这里所指的二阶是2X2X2阶。</P>
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<P>我在论坛里找了好久，发现大部分人认同二阶魔方的状态数有3674160种。</P>
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<P>算法是7的阶乘再乘以3的6次方，即 7!x3^6</P>
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<P>3的6次方在这里是什么意思？意思是用6种颜色填充3个小面。3的6次方等于729，包括了全部的情况。</P>
<P>仔细想想这样对吗？我认为是错误的，试问有以下这样的角块吗？</P>
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<P>白黄绿、蓝绿红、橙红黄……</P>
<P>（标准魔方颜色上白下黄左蓝右绿前橙后红）</P>
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<P>这样的角块是不存在的，所以用3的6次方是错误的。</P>
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<P>大家觉得我说的对不对？请多多批评指正，我们一起讨论。</P>
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<P>再来说说我的算法，因为二阶魔方只有8个角块，而角块的特性告诉我们，角块都是唯一的，因为每两个角块之间至少有一个小面的颜色不同。每个角块的位置可以有8个，那么我们先得到了一个8的阶乘。而每个角块在自己的位置处又有3种变化。所以我认为二阶魔方的状态数是8的阶乘再乘以3，即 8!x3 ，共120960种。</P>
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<P>有人要问了，你怎么只乘以3呢？答：角块是唯一的，8的阶乘中已经包含了这个唯一性。</P>
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<P>朋友们，对于我的二阶魔方状态数的算法，我没有多大的信心，我不敢保证它是正确的。但我比较确信 7!x3^6 是错误的。朋友们，如果我证明错了，就来反驳我吧，让我知道自己错在哪了。谢谢大家啦。</P>
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[ 本帖最后由 冰七灵 于 2008-4-25 22:06 编辑 ]

乌木

<P>“3的6次方在这里是什么意思？意思是用6种颜色填充3个小面。”</P>
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<P>这样理解好像很别扭，角块的色片贴牢之后不能再变，变的是角块的色向－－色片随角块基体一起转向，每个角块有3种色向，8个角块随机、自由、无魔方规律制约地组装的话，共有3×3×3×3×3×3×3×3＝3^8个由色向引起的倍增数，但魔方转动时，最后一个角块的色向只有一种可能，故色向倍增数为3^7。二阶角块位置经转动魔方而得到的排布的总数为8！，故8！×3^7 / 24＝3674160。其中除以24是消同态。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-25 23:51 编辑 ]

乌木

至于有的表达式为7！×3^6那是把上述8！×3^7/24的分母拆为8×3，得到7！×3^6，只是表观的形式！

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-25 23:11 编辑 ]

乌木

<P>“ 8!x3 ”</P>
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<P>这算法只保留了一个角块的色向自由度，排除了另6个角块的色向自由度，不合理。第一个角块有了3种色向之后，第2～第7角块共6个角块每个都有3个自由度，唯有第8个角块仅有1个色向，故应该×3^7。</P>
<P>第8角块的色向可能性为1，但并非固定某一色向，而是，要么为0；要么为1（逆时针转了一下）；要么为2（顺时针转了一下）。究竟是什么取向，只要满足8个角块的色向和为零即可。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-25 23:52 编辑 ]

乌木

有的计算声明不消同态，即不除以24，则得到88179840。这和3674160的结果毫无冲突的，前提不同而已。

乌木

<P>“怎么只乘以3呢？答：角块是唯一的，8的阶乘中已经包含了这个唯一性。”</P>
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<P>角块确是各自唯一的，即，没有相同的两个角块，但是头7个角块各自都还会有3个色向，每角的三色向是相互独立的，没有任何相互制约的什么东西。唯一制约的是，经由转动魔方而改变色向时，第8角块的色向没自由，要听命于头7个角块。</P>
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<P>等价地，另一角度表述这性质：任何状态的魔方无法单独改变一个角块的色向而不牵连别的角块！</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-25 23:53 编辑 ]

冰七灵

你的3^8和8!都包含了角块的位置关系，这样不重复了吗？而且是乘法。

乌木

<P>比如，两个小朋友，位置不再变，但可以正坐（0），可以右倒（1），也可左倒（2）。</P>
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<P>无制约的话，共有3×3＝9种状态：0－0，0－1，0－2，1－0，1－1，1－2，2－0，2－1，2－2。</P>
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<P>有制约的话－－要么都正；要么一右倒一左倒，不许两右倒，也不许两左倒，则只有3×1＝3种状态：0－0，1－2，2－1。粗心一看，第二位好像也是三种坐姿都有，但是完全听命于第一位！</P>
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<P>如果再考虑位置可变，该怎么算态数？请思考。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-26 00:03 编辑 ]

乌木

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原帖由 <I>冰七灵</I> 于 2008-4-25 23:48 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=119844&amp;ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 你的3^8和8!都包含了角块的位置关系，这样不重复了吗？而且是乘法。

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<P>对，包含了不同位置态。魔方态之变化包括位置和色向两种因素。至于为什么两者要相乘？不做乘法也完全可以，用加法代替乘法嘛！只要不感到麻烦即可。</P>

乌木

我感到楼主的思路一定被什么东西“别住”了，看来只有和您不断探讨中才能解脱。请尽管问好了。