棋子归位问题

lulijie

n-1个棋子（标号从1至n-1），随机放在1*n的格子上（格子编号1-n），每个格子放一个棋子。
每次只能移动一个棋子到空格上，为了让棋子归位（棋子全都放在同号的格子上），
1. 应如何移动棋子才能保证移动的次数最少，请给出移动的方案。
2. 求移动次数的期望值。

pumpitup

移动是指，拿起再放下？还是一格一格地走？如果一格一格地走的话，应该允许跳跃的吧。如果允许跳跃，那可以跃过多少棋子呢，一个还是任意？

tm__xk

空位不是n就把对应的棋子拿过去,否则就随便那一个错的.
ms每个错误棋子一步,每个圈额外一步,是最优了吧..
(我也没看的太仔细..有不对的可能性..)

lulijie

移动一次就是拿起一个棋子直接放在空格上，不需要一格一格移

lulijie

3楼的方法是正确的。
至于期望值，我想用递推来做，但是却没找到可行的方法

tm__xk

到3l那里确实很显然,但是要求期望就..暂时看不出好的办法..

tm__xk

我算出来结果是    (1/2+1/3+...+1/n)+(n-1)(n-2)/n

n=2,3,4时分别为 1/2,3/2,31/12
与人手穷举的结果相同.
所以应该错不了.

过程算短了,计算也不繁.
lz应该希望自己先算算的..所以我先不放过程..

tm__xk

对了..我用的过程..计算不繁琐的同时..更偏向技巧性..

tm__xk

趁现在没事干码下字吧..
下面反白给出的是我的完整过程.

以下反白内容严重剧透~~~~
不愿此时被限制思维的人请小心操控鼠标和键盘~~~~

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"空位不是n时就把对应的棋子拿过去,否则就随便拿一个错的"
这样的做法很容易想到,也很容易知道是最优的.(证明此处略.)
所以我们要求的就是此策略对应的步数期望.

易知,
若初始状态空位为n,则 步数 = 错误棋子个数 + 长度大于1的圈的个数 ;
若初始状态空位不为n,则 步数 = 错误棋子个数 + 长度大于1的圈的个数 - 1 .
于是,我们分别计算每项的期望.

错误棋子个数的期望:
每个棋子错误的概率为(n-1)/n,于是错误棋子个数的期望为(n-1)^2/n.

长度大于1的圈的个数(-1):
我们令每个长度为k>1的圈中的每个棋子贡献为1/k.
对于一个棋子,易知其所在圈长度为1,2,3,...,n的概率均为1/n,
故每个棋子贡献为(1/2+1/3+...+1/n)/n,
总数为贡献为1/2+1/3+...+1/n.
然而,初始空位不为n的那些状态被多算了1,因此需在期望中再减去(n-1)/n.

因此,最终答案为 (n-1)^2/n + (1/2+1/3+...+1/n) - (n-1)/n ,
即 (1/2+1/3+...+1/n)+(n-1)(n-2)/n .
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lulijie

考虑了一下，有以下递推方法：设棋子归位的期望为f(n)
▲空格在n位，概率为1/n
    先将1号棋子放在n位，剩下的棋子归位需f(n-1)步，最后还要将放在n位的1号棋子归位，所以总共要f(n-1)+2步。
    其中1号棋子本来位置正确的(概率为1/(n-1))，用此方法会多算了2步，所以要减去2*1/(n-1) .  
▲空格不在n位，概率为1-1/n
    先将空格所在的位置对应的棋子归位，剩下的n-1个棋子归位需f(n-1)步，总共f(n-1)+1步。
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所以f(n)=1/n*(f(n-1)+2-2*1/(n-1))+(1-1/n)*(f(n-1)+1)
        =f(n-1)+1+1/n-2/[n(n-1)]
所以得到递推公式
                            f(2)=1/2
                            f(n)=f(n-1)+1+1/n-2/[n(n-1)]
                            即 f(n)= f(n-1)+1+1/n-2(1/(n-1)-1/n)        式1
利用式1得f(n)=f(2)+n-2+(1/3+...+1/n)-2(1/2-1/n)
                      =(1/2+1/3+...+1/n)-3+n+2/n
                      =(1/2+1/3+...+1/n)+(n-1)(n-2)/n
为方便，用E(n)表示调和级数=1/1+1/2+1/3+...+1/n
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综上：f(n)=E(n)-1+(n-1)(n-2)/n
    或递推公式  f(1)=0
                       f(n)=f(n-1)+1+(n-3)/[n(n-1)]=f(n-1)+(n^2-3)/(n^2-n)

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-7-10 12:51 编辑 ]