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代数方程与判别式
在古典数学中,解方程基本上就是代数学的代名词,而判别式又是解方程中比较重要的概念。花拉子米的《代数学》比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理和解法,推动了代数学的发展。继一元二次方程以后,数学史上又出现了更高次代数方程的解法,其中比较著名的就是卡丹对于一元三次方程的解法。
现在,我们将运用已有的知识,探索代数方程与判别式的一些基本理论。
1.基本假设
变量x,y∈C, n,k∈R;常数a,b,c,d,p,q∈R
2.一元二次方程
2.1判别式
已知一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0),试探索下列问题:
(i)利用判别式讨论此一元二次方程根的情况。
(ii)设x1,x2是此一元二次方程的两根,试将判别式表示成仅含有x1,x2和a的代数式。
2.2韦达定理
韦达定理的推广形式是代数方程理论中最重要的定量之一,它建立了任意多项式根与系数之间的的关系,其具体表现形式如下:
设多项式f(x)=xn+a1xn-1+……+akxn-k+……+an。根据代数基本理论,当f(x)=0时,假定其所有的复数根为x1,x2,……,xn。那么,韦达定理的推广形式可以被表述为:
(iii)叙述并证明当n=3时韦达定理的推广形式。
3.一元三次方程
3.1恒等变换
数学史上,一元三次方程有着十分重要的地位。文艺复兴时期,意大利的数学家塔塔里亚发现了一元三次方程的求根公式,并在与菲奥里的公开学术论战中一举成名。但塔塔里亚的成果最终却被米兰的医生卡丹所窃取。随后,一元三次方程的求根公式被命名为卡丹公式,一直流传至今。
已知一元三次方程:x3+bx2+cx+d=0,试探索下列问题:
(iiii)对于上述一元三次方程,证明:它总可以化为x3+px+q=0的形式。
3.2判别式
判别式对于代数方程的根有着重要的判定作用,下面给出代数方程判别式的定义:一般地,对于代数方程:xn+a1xn-1+……+akxn-k+……+an=0,假定其所有的复数根为x1,x2,……,xn,那么此方程的判别式为:
(iiiii)计算一元三次方程x3+px+q=0的判别式,并利用判别式讨论方程根的情况。
4.问题总汇
(i)利用判别式讨论此一元二次方程根的情况。
(ii)设x1,x2是此一元二次方程的两根,试将判别式表示成仅含有x1,x2和a的代数式。
(iii)叙述并证明当n=3时韦达定理的推广形式。
(iiii)对于上述一元三次方程,证明:它总可以化为x3+px+q=0的形式。
(iiiii)计算一元三次方程x3+px+q=0的判别式,并利用判别式讨论方程根的情况。
[ 本帖最后由 石崇的BOSS 于 2010-10-2 21:46 编辑 ] |
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