一个最值问题..

三硝基甲苯

已知X^2+Y^2=1
（X平方加Y平方等于一）

求3X+4Y的最大值和最小值。
我们老师的解法相当的强悍..看看各位能不能想出来

mengfl

不就是用图做吗。。。

淡淡幽情KK

方法一：
设X=cosa, Y=sina
则3X+4Y=3cosa+4sina=5sin（a+A)
所以最大值5，最小值-5
方法二：
用柯西不等式
（3X+4Y)^2<=(3^2+4^2)(X^2+Y^2)=25,所以-5<=3X+4Y<=5
方法三：
图解法，先画一个单位圆，再画直线3X+4Y=0，当直线平行移动时，两个相切位置的值就是最大最小值。

[ 本帖最后由 淡淡幽情KK 于 2010-3-21 15:13 编辑 ]

三硝基甲苯

楼上果然...
那么（Y-2）/（X-1）呢？

chuchudengren

不就是圆上的点到1，2的斜率么，切线的位置
几何作图，倾角为A,则cotA=（0.5+0.5）/（1-0.5*0.5）=4/3 正切的二倍角公式
故斜率为0.75，最小

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-3-21 15:25 编辑 ]

淡淡幽情KK

设X=cosa, Y=sina
则(Y-2)/(X-1)=(cosa-2)/(sina-1)=t
整理得：tsina-cosa=t-2
即√ （t^2+1）sin（a+A）=t-2
|sin（a+A）|=|t-2|/√ （t^2+1）<=1
解得：t>=3/4

三硝基甲苯

为什么答案上是最小值是1...
看看0.75能取到不...寒假作业上的~
6L上几年级啊..（但愿他还在上学..不然就杯具了..）

chuchudengren

在-0.6，0.8取到

淡淡幽情KK

我上大二，呵呵，还在上学~~

superacid

我觉得这些题目用几何意义解非常理所当然