扔蛋糕

骰迷

這題是數學老師發在校報上的，拿來大家做下。
現在有n人（n＞２），每人拿著一個蛋糕，任意兩兩之間的最短距離不同。每人會同時將蛋糕扔向最近的人。
設f(n)為經過蛋糕戰後＂生還＂的最大人數，f(n)=n-2能証麼？

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-9-5 16:22 编辑 ]

Ricky.C

n-2 不是至少有 2個人生還嗎.??

n 內已包括 2個人..我自己是這樣理解.

通常都錯了=- =

lulijie

题目就是求证蛋糕战最少击中2人。
1。  首先证明最少1人不可能：任意两人之间的距离有个最小值，距离最小的这两个人之间肯定是相互扔蛋糕，所以至少两人会阵亡。
2。  其次如果举个例子证明仅仅两个人阵亡是可行的就可证明本题。
    除了距离最小的这两个人a、b外，若能使得除了a、b以外的m个人彼此之间的距离都大于它们到a或b的距离，那么这m个人的蛋糕都会扔向a或b，那么本题就得证。
    可以设ab之间的距离非常小，这样它们的中点P基本与它们重合，剩下的m个人，等距分布在以P为圆心，以R为半径的圆周上，那么若要使这m个人之间的最小距离（即弦）大于R，那么弦所对的圆心角必需大于60度。这样m的最大值就是5。
所以若n<=7，可以使得f(n)=n-2。
若n>7，那么我觉得应该f(n)<n-2。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-6 13:06 编辑 ]

骰迷

我也覺得是不能証的，只是有些奇怪，因為老師這題目前面有好幾個theorem，然後我猜這題也不會太簡單吧。原來我沒有理解錯。
還可以有其他拓展，如被擊中人數的期望值、令最多人不被擊中的方案的思想等等。
如果把題目拓展到三維空間、球面，結果會不會有不同呢？