对《 1大还是0.99999999.......大？ 》的一些个人看法

yang_bigarm

看到《 1大还是0.99999999.......大？ 》在这个版居然有上个回帖，确实令人惊讶，我先说一句，不论是哪个大，反正楼主挖的这个坑是最大的无疑啦。

现在我说我的观点：不论说哪个大，都应该给出自己的证明来，而且这个证明应该让人信服。

从目前的100多个帖子来看，只有说相等的人给出了若干个不同的形式化的证明，而说大于或者小于的人，要么是凭借自己个人的感觉，要么是道听途说，还有就是无限接近这样的话。如果我是一个完全对数学不了解的人，在已有的多次论证下面，我会相信哪一方呢？

如果正面的论证不行，那么可不可以反过来看这个问题呢。比如你说1和0.999....9循环不相等，那么请问如果假设他们两个相等，会不会导出和现有的数学定理，或者任何物理、几何上的事实相违背的东西呢？

我觉得那些认为不相等的人肯定导不出任何结论，其实0.999....9循环是数的一种表示方式，它跟数的其他表示方式没有什么不同，几何上看都是数轴上的一个点，它跟1是不是同一个点呢？如果你说他们不是同一个点，那么请问他们之间的距离是多少呢？他们的中点又是哪个点呢？(1+0.999...)/2 = 0.99999.....，两个点的中点居然是其中一个点，在这里有没有感觉到与直觉想违背呢？

极限本来就是表达数的一个过程，这是高斯在十八世纪的时候的理解，我们今天可以用数列，级数，描点，渐近线，切线，闭区间套等等方法表示，传统的数学分析书上用ε-δ语言来表示，这是德国数学家魏尔斯特拉斯在十九世纪的时候建立的一套方法。他认为两者A、B之差（绝对值）只要小于你能写出的任何一个确定的数，就认为两者是相等的；这两者可以是两个数，也可以认为其中一个是某种过程A，另一个是数字B，这个时候他就说这个过程A的极限等于那个指定的数字B。

有人写 1/3 = 0.33333......，从一个计算的过程来说，1除以3，用我们学过的列式子计算的方法，写出来的就是
0.33333......，这是一个无限的过程（计算方法和算法还是有差别的，算法才要求有限步），但是这个过程的所得到的数字和1/3的差距确实是小于任意的你能写出来的确定的数；同样的道理，其它的写法也是在叙述一个过程，这个过程和你所要逼近的目标之间小于任意的你能写出来的确定的数。我在这里说这是一个过程，它可以说是一个运算过程，也可以用直尺和圆规在几何上描述。同样的道理，你既然可以写出0.9999...那么无论你写或者以何种方式来描述，都是一个过程。数轴上每一个点都和实数相对应，这叫实数的完备性，实数的完备性等价于欧基里德几何的直线没有“空隙”。 现代实数理论是由德国数学家戴德金建立的。

当然了，用0.9999...和1.00..01逼近1还是有差别的，微积分里叫左极限和右极限。他们的差值|1-0.9999...| 在除了0之外的实数范围内是找不到位置的，但是还是有人奇思妙想，提出这个差值是存在的。如果非要问他们之间的差值是什么，请看 “非标准分析”这一数学分支的内容。

有兴趣的朋友可以进一步参考：

《无穷研究简史》http://www.xici.net/u2866578/d38211673.htm
百度百科条目 戴德金 http://baike.baidu.com/view/130183.htm
现代数学中的新理论--非标准分析 http://tech.icxo.com/htmlnews/2005/05/31/606232.htm
柯朗, R．《什麼是數學：對思想和方法的基本研究》．ISBN 9787309044546．

如来佛猪

........好长的长篇大论啊

superacid

有道理
各人所拥有的知识不同，得出的结论就不同。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-8-16 21:20 编辑 ]

今夜微凉

够详细~支持了！快成数学论坛了~相信还是有人不太理解的，没关系，这里只是讨论~呵呵！哦，原来楼主就是那个有精品帖的白魔~

[ 本帖最后由 今夜微凉 于 2009-8-16 21:30 编辑 ]

HoldeN

很显而易见的等于，还要讨论这么久，真汗了。。。

superacid

有很多人是蒙对的，你能确定你的方法是正确的吗？

superacid

LZ说的非常好，我同意极限的方法，只有这个我认为是严谨的。
但鉴于我们大多数人对数学方面的认知程度不同，不能说他们是错的，只是知道的东西太少。

r_517

我们初中的时候老师也常用那种什么1/3=0.333..或者10x=9.999...的方法来着。。。现在看看好好笑。。。