关于自然数所有因子的和除以自身的最大值问题。

lulijie

看了最近的关于完全数的帖子，我想到了一个问题。
用S表示自然数N的所有因数的和（除自身外）。那么如果S/N=1， 就表示N为完全数。
那么S/N有没有最大值呢？

superacid

应该没有吧，所有的质数的倒数和为∞，
取数列an=p1p2...pn，其中pn为第N个质数。
则an的S为an(1/p1+1/p2+...+1/pn+...)
S/N>1/p1+1/p2+...+1/pn发散，故无最大值。

Cielo

令 f(n) = 自然数 n 的所有因数的和（包括自身）
设 n = ∏  p_i^k_i（分解为素因数的方幂之积）
则相应的 f(n) = ∏  (p_i^k_i+1-1)/(p_i-1)
可以发现对于固定的 p_i，其指数 k_i 越大则 f(n)/n 的取值越大，
当 k->∞，(p^k+1-1)/p^k(p-1) -> p/(p-1)
问题变为：当 i->∞ 时，∏ p/(p-1) 有没有极限（表示对所有素数求和）。
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楼上的解法果然简便！

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-7-20 22:11 编辑 ]

superacid

发现一点：楼上的 ∏p/(p-1) 恰好等于 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 证明发散更容易

lulijie

2楼的方法很漂亮。
若求N以内的S/N的最大值，如何求，有没有简单的公式？
    比如N为100以内的整数，求S/N的最大值。

Cielo

原帖由 superacid 于 2009-7-20 22:14 发表
发现一点：楼上的 ∏p/(p-1) 恰好等于 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 证明发散更容易

赞！
以前见过的 ∏ [∑_i=0^∞p^-i)] ，结果这次还是你说了我才发现

Cielo

原帖由 lulijie 于 2009-7-20 22:24 发表
2楼的方法很漂亮。
若求N以内的S/N的最大值，如何求，有没有简单的公式？
    比如N为100以内的整数，求S/N的最大值。

试了几个数，发现 60 有可能……

superacid

100以内确实是60

lulijie

用电脑计算了一下，得到以下结果：   100000以内。
2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,10080,15120,25200,27720,55440
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比如求100以内最大的比值，
查上表，100介于60和120之间，所以100以内当N=60 时比值最大。
仅当N逐渐增加到120 时，最大值才被N=120时夺走。
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看看上表好像有规律，又抓不到。

ywb0743

原帖由 superacid 于 2009-7-20 22:14 发表
发现一点：楼上的 ∏p/(p-1) 恰好等于 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 证明发散更容易

这是为什么，请教一下，谢谢！