只有相对两个面贴纸的魔方的最远步数是多少？

乌木

1楼头两图所示的魔方，大概仍要约定中心块组固定不动的吧？8个角块只有2种；12个棱块只有3种，且其中一种还只有一个色向（或者说是其两个色向简并为一个色向）。看来，总态数将大大减少（？）。

乌木

实在吃不准如何算，下面是抛砖引玉。

约定六个中心块不动，即魔方无整体运动。

三阶纯色魔方总态数4.3×10^19的算式之一是 8！×12！×3^7×2^11 / 2 ，其含义许多人都知道了。我对照此式的因子逐个改写来解1楼两个图所示的魔方的总态数。

8！改为（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）。
理由：先不管色向，设4个相同的蓝色角块先（用转魔方层的方法）布排。一般，头四个角块有8×7×6×5 种方式；一般，四角块在四位置的排列数为4！＝24，但因这四个角块一样，这24态是位置同态（不管色向，仅就位置状态而言），只能算一个位置态，故要除以24。
接下来四个相同的绿色角块布排方式数（4×3×2×1 / 24）的理由类推。

12！改为（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）。
理由：类似于上面角块的考虑，头四个相同的蓝色棱块仅就位置排列数并经消（位置）同态，得到（12×11×10×9 / 24）；接下来四个绿色棱块就位置而言的对总态数的贡献因子为（8×7×6×5 / 24）；最后四个相同的无色棱块提供了（4×3×2×1 / 24）。

3^7 不改。现在的8个角块每个都有自己的色向，魔方的色向和规律仍起作用。

2^11改为 2^8 。理由：只有8个棱块有色向变化；也不必担心“单单一个棱块无法改变色向”之约束，因为有没色向的棱块可以配合“单独一个棱块变色向”，使得该改变色向的棱块表观上似乎不受魔方规律约束。

/ 2 改为 / 1，即不必除以2。理由：有许多相同的角块和棱块在，很容易选出两个相同的块，配合要求互换的两个块，实现表观上的“单单两块互换”。看起来不受魔方规律约束，实际上属于“上有政策，下有对策”。

上述五大因子综合如下：
（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）×（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）×3^7×2^8 / 1
＝（8×7×6×5 / 24）×（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×3^7×2^8
＝1 357 969 536 000
≈1.358*10^12

请指正。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-19 16:44 编辑 ]

乌木

8楼我补充了“约定六个中心块不动，即魔方无整体运动。”这就避免了魔方改变取向所致的24同态问题，也避免了绕U－D轴旋转所致的4同态问题。在有的普通三阶魔方状态数的计算中也是这样约定的。也就是说，这样所得的总态数是相对于参照物中心块组而言的。否则，算得的就是相对于魔方的周围环境这个参照物而言的、且和魔方的运动方式有关的状态数，不去“消同态”的，自有其用处。

10楼的算法我还不太懂，还要学习。先问个问题，比如，组合数的第二条说“D面3个蓝角块  4”，这4个态的每一个，都还有U面3个绿角块的4种变化数，所以，仅这第二条就有4×4＝16种角块（位置）状态数，对吗？

或者，此处你是考虑魔方整体绕U－D轴旋转的，故把16种状态合并为4种了？

对于这种有四个中心块一样的魔方，好像是该合并这种“4同态”，我那固定六个中心块的算法看来有问题。

那么，后面计算棱块时是否也有类似的消同态问题？我一时想不下去了。各位说说。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-19 19:09 编辑 ]