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百慕大2½ 箭矢与星辰 [复制链接]

Fenz

银魔

魔方思者

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发表于 2018-11-18 17:53:00 |只看该作者 |倒序浏览

本帖最后由 Fenz 于 2018-11-18 17:51 编辑

以前分析和设计百慕大系列的时候，想过了特征值 Emax 为 3~6 的各种情况，却漏了 2.5 这个可能性。一晃四年过去了，如今因为写魔方软件而回头分析半整数百慕大时，才发现特征值为 2.5 是可能的。

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以下为理论分析，就不单独发帖了
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百慕大魔方的面满足以下特征：
棱数 + 角数 = 特征值×2
棱数 < 角数
棱数×2 ≥ 角数
角块外侧的角θ = π - 2π/特征值
两个面的夹角 = arccos( tan( θ/2 )/tan( θ ) )

特征值	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
角块角度	-60°	0°	36°	60°	77.143°	90°	100°	108°	114.545°	120°
面面角	70.529°	60°	63.435°	70.529°	79.513°	90°	102.130°	116.565°	135.285°	180°

可见特征值必须大于 2，否则角块没有合法的形状；又必须小于 6，达到 6 时，已经平了，在欧几里得时空内无法构成立体形状（负曲率的非欧几何内，应该是可以的，数学不够好，就不讨论了）。

再看可能的棱块角块数量组合

棱块数	角块数	特征值
2	3	2.5
2	4	3
3	3	3
3	4	3.5
3	5	4
3	6	4.5
4	4	4
4	5	4.5
4	6	5
4	7	5.5
4	8	6
5	5	5
5	6	5.5

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特征值为 2.5 的情形，只有一种 2棱 3角的情况。但是依然可以弄出三种变形。63.435° 这样小的面面角，只能有三个面，并且角块的角是 36°，这正好是五角星的角，十分尖。因此原形的百慕大2½魔方的形状就像一个尖锐的箭矢。可以称为百慕大箭矢魔方(Burmuda 2½ Arrow)。还可组合出非常好看的五角星异形，百慕大星辰魔方(Burmuda 2½ Star)。

当然，星辰与箭矢与圣斗士没什么关系，只是形状像而已。这个魔方总共有 3面 3棱 4角，与单元魔方一样。事实上，它们也同构的。箭矢和星辰多了一些形状上的变化。这两个魔方由于面到中心的距离短，三条轴又过于接近共面，结构上比较难搞。做成事物的话，容易散架，不过摆在那里还是挺好看的。

下面是我的在线魔方程序中的截图