解一个抽象函数的解析式。求其他解法。
本帖最后由 三硝基甲苯 于 2012-6-2 14:11 编辑数学课上卷子里的,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)。本来不需要解析式的,只是选择题,我想解出来玩玩。
本来想列一个微分方程的,令x=X+dx,y=dx,移项之后左边凑成了了一个两阶导,右边打死凑不出来(高中生,学的不多,勿喷)。就换了一个思路,假设f(x)为一个麦克劳林级数,比较左右多项式次数,得到a(m+n)=a(m)*a(n)*(1+(-1)^m)/2,也就是奇数次项系数均为0,偶数次满足a0=1或0,a(n+2)=a2*a(n)。
算了N小时才发现本来a2就是那个任意常数,就得出了原式的解:f(x)=cos(kx)(K为任意常数);f(x)=0;f(x)=1.
其中K可以是复数,取i的时候就是cosh(x)(话说这个到底怎么读= =)
我就在想,如果要列微分方程,左边肯定是两阶导无误,但是就是想不出来。求分享思路与解法。
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刚解出来的时候是f(x)=cosh(kx),不过我最开始猜的是cos(x)。
分别令y=0和x=0
得f(0)=1,f(x)=f(-x)
所以是偶函数且f(0)=1,容易想到x^(2n)+1和cos(kx),代入得解
还有一种方法。。。
另x=y代入
f(2x)+1=2f(x)^2
移项f(2x)=2f(x)^2-1,显然是cos倍角公式 jimofc 发表于 2012-6-2 15:22 static/image/common/back.gif
还有一种方法。。。
另x=y代入
f(2x)+1=2f(x)^2
但是我要找到它全部的解= = 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-6-2 17:35 编辑
原题有没有说这个函数的连续性或可微性?
如果不是,那么一切dx的思想都不可行 f(x)=0
一样满足条件,楼主试试。。。。。。。。。。 玉逸风 发表于 2012-6-2 18:05 static/image/common/back.gif
f(x)=0
一样满足条件,楼主试试。。。。。。。。。。
恩,我写了,一个恒为0,一个恒为1,都可以。 PKUSMSBQ 发表于 2012-6-2 17:33 static/image/common/back.gif
原题有没有说这个函数的连续性或可微性?
如果不是,那么一切dx的思想都不可行
高中数学= =应该是在定义域内连续可导的吧..不可导函数没考虑过= =没学过 高中生怎么就这么厉害蹑? 三硝基甲苯 发表于 2012-6-3 13:25 高中数学= =应该是在定义域内连续可导的吧..不可导函数没考虑过= =没学过
你可以自己加一个连续可导的条件来挑战自己,但你不能随便乱该题目
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