关于二阶魔方每面颜色都各不相同的状态数讨论

yeees

我们已经知道，存在一些打乱方式，可以让打乱之后的二阶魔方的每一面上的四个色块，颜色均不相同。比如下面的一种打乱方式（白顶绿前打乱）：
公式：U F U R F U F
打乱之后的状态如下图：


（图1）
事实上，类似的打乱方式还有一些：
U F U R F U F
U F R F U F R
F R U R F R U
F R F U R F R
R U F U R U F
R U R F U R U，这些七步打乱都可以完成要求。

于是：
①、有没有办法找到这些“每面上的四块颜色均不同”的状态总数呢（凭直觉，这种状态数应该不会太多。计算机穷举法显然能够找到这种状态数到底有多少。但是有没有更巧妙的办法去寻找它？）？

②、是否可以进而算得，这类“每面上的四块颜色均不同”的状态，随机出现的概率是多少？

③、进而再探讨一下，这些“每面上的四块颜色均不同”的状态，是不是色块的排列都必然有着一定的几何规律？

比如图1中的case，它的色块排列，有着自己的规律。我把每种颜色分别作了个图，如下图：



每一种颜色的四个小色块，遵循这样的规律：其中两个处于相对面的正对位置（如[块1]和[块2]），而另外两个处于相邻面同层远端（如[块3]和[块4]）。它们似乎是六种颜色的，积木一样的东西，组合起来的组合体（展开你的想象）。


那么，能不能证明存在一种“无空间几何规律”的case，也符合“每面上的四块颜色均不同”的状态？（贴错了贴纸状态和转角状态不算，就指正常魔方应有的状态）

yeees

乌木 发表于 2013-3-3 20:59
二阶各面四色的总数不会算，先看看1楼6个公式的同一结果的又一颜色规律：

又发现一种case，似乎是规律性不如1楼那个强，但依然具备一定性的规律。。
白顶绿前，打乱公式如下：
U R' U2 R U R' U' R U R' U R U' R' U2 R2 D' R2（比较长，大家见谅，因为我直接用复原步骤逆序打乱的。。。）
图示如下：



将每种颜色分开来看，分解图如下：



可以看到蓝色和绿色形成了正反小鱼（学过三阶OLL21-27的应该看得出）；
而，剩下的四种颜色，两两呈现空间对角关系（如图虚线所示）

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无意中又转出了一种新case
白顶绿前，打乱公式如下：
U2 R2 U F2 U2 R2 U R2 y2 U' F U R U' R' U' F2 L'（比较长，大家见谅，因为我直接用复原步骤逆序打乱的。。。）
图示如下：



规律也跟上面第一幅图有那么一点点的类似。。。