反射魔方

schuma

hubo5563 发表于 2012-12-30 20:37
如果五魔方也加上反射会发生什么？
可能没有三阶反射魔方的两棱换发生。

普通五魔方(三阶)的反射的话，

首先，反射面通过一个顶点和它相对的棱中心，所以不分mirror+ 和mirror X。因为两个反射就等于一个旋转，所以它的状态会包含普通五魔方作为一个子集。它跟这里的 mirror & twist 类似。

所以解起来的话，除了到最后比较特殊，之前的步骤都会跟普通五魔方差不多。

到了最后应该会有如下情况:
1. 棱块永远是偶置换，跟普通五魔方一样，没什么特殊的。朝向也不应该出现特殊情况。
2. 角块永远是偶置换，跟普通五魔方一样。但是朝向比较特别：角块不但会出现单独旋转一个角块，而且还会出现单独镜像一个角块的情况。原因是镜像一个面会镜像五个角块。复原了其中四个角块以后，就会剩下一个角块在镜像状态。

如果想玩，可以用如下方法用四维的旋转来模拟三维的镜像：
1. 下载一个四维魔方的java程序 http://www.superliminal.com/cube/cube.htm
2. 选择 puzzle >> {5,3}x{} Dodecahedral Prism >> 3 这是一个四维的几何形体，有两个十二面体和十二个五棱柱组成。
3. 忽略十二面体上的贴纸，点击五棱柱进行打乱和复原。围绕五棱柱的旋转就相当于三维空间中的镜像操作。

schuma

我再分析一下正四面体(金字塔)的情况。和五魔方类似的是，没有纯镜像的mirror+和mirrorX情况。只要允许各个方向的镜像，就自动把旋转包含进去了，所以都是mirror & twist 那种魔方。

三角形面的每次镜像操作都会镜像三个角，其中一个原地不动，另外两个交换。另外，会兑换两个棱，第三个棱不动，而且镜像了也看不出来。所以镜像操作数目的奇偶性 = 角块置换的奇偶性 = 镜像状态的角块数目的奇偶性 = 棱块置换的奇偶性 = 棱块贴纸的置换的奇偶性。

不管先解棱块还是先解角块，只要把位置解好了，就不应该出现什么奇偶性特殊情况了。一个角块可以单独旋转，不过这是普通金字塔里的普通情况。

正八面体和二十面体的情况应该也差不多，因为面都是三角形的

schuma

hubo5563 发表于 2012-12-30 17:23
你分析的很对，五魔方棱块都是偶置换，角块整块也都是偶置换。一个镜像除了两对整的角块外，也单独镜 ...

嗯，我差不多就是这个意思。

单独镜像的事情我想澄清一下。在这个3x3x3的mirror X 和 mirror & twist 里，我们都可以单独转动一个角: 把一个角块的三个贴纸进行三循环，就像直接在普通魔方上强行拧一个角一样。但是只能同时镜像两个角，而不可能只镜像一个角。

在五魔方的mirror & twist 里，有不同的情况，我们可以只镜像一个角：其他块都复原，唯独一个角块的两个贴纸对调。因为一个镜像操作以后有五个角被镜像。然后用偶数步可以把其中四个角以及所有棱块复原，最后就剩下一个角处于镜像状态。当然，由于可以只镜像一个角，所以推论是也可以单独旋转一个角。不过我要澄清的是可以 单独镜像 一个角。

schuma

Fenz 发表于 2012-12-31 00:23
拿5阶玩了个花样

haha 挺好看的。普通五阶搞不出这些花样么？

schuma

做了两个比较重要的花样：

四阶六面棋盘和二阶六面棋盘。偶数阶的六面棋盘在普通魔方上好像是做不出来的，对吧？

schuma

hubo5563 发表于 2013-1-6 01:46
确实是你分析的那样，反射五魔方解到最后出现了单独一个角块镜像了，其它块都复原了。

不错。你准备把这个反射五魔方的 java 放出来么？

schuma

hubo5563 发表于 2013-1-6 16:31
已经做了，现在能动了，还有公式生成，自动执行没做，正在做。
准备利用二面体群性质来简化同一面操作的 ...

加油。鼠标操作是怎么定义的？我想象中，如果我做的话，应该是点击中心块是普通旋转，点击棱块或者角块是镜像，镜像的反射面通过被点击的棱或者角。

schuma

hubo5563 发表于 2013-1-6 18:23
没有虚线和箭头表示，点击后有动画效果。

反射/镜像操作用什么动画啊？
伸缩？

schuma

Fenz 发表于 2013-3-21 20:25
http://nanma80.github.com/InsideH3/index.html
这个是什么？

那个是一个三维欧式空间，双曲空间，或者球面等等的一个可视化。假象你驾驶一个飞船在不同的空间里飞行，就会看到什么样的景象。