果壳”上看到的——变脸六边形

乌木

好玩！
制作了一个，边翻边在中心区域画不同花样，初步获得15种不同的中心花样！

那个制作教程虽然有图，但可能仍不易看懂，我编辑了一下，共各位参考：

摘自http://www.guokr.com/article/298884/
来，看六边形变脸！
Uduse 2012-08-02 10:35:01

下图中九种带花纹的和一张全白的六边形，其实都是同一张六边形纸片。如果你觉得惊讶，那你一定没有玩过变脸六边形折纸。看似变化多端，实际这东西做起来也并不难，下面就由我带着大家来制作这曾经风靡普林斯顿大学一时的变脸六边形折纸吧！


取A3纸一张 （不需要完整的，长度够即可），在长边处裁下一根纸条，宽2.5厘米，长约35厘米。图中纸条上有文字，无关，是利用的废纸：


对着光源，从纸片离某一端较近处将纸片成六十度对折，即图中黑影部分为一个正三角形：


按图示摆好位置：


将纸条的长端沿着三角形的一边（上图虚线）向上翻折过来，尽可能地对齐：


再沿着三角形的另一个边（上图虚线）将纸条向上翻折过去：


以此类推继续折叠下去：



展开，待截取十九个正三角形：


截取19个正三角形后，沿第2第3三角形之间的折痕向后面翻折，使第3三角形在第2三角形的后面：


未完…………





  
  

乌木

再沿第4、第5三角形的折痕向前翻折，使第5三角形在第4三角形之前：


同样地三角形7翻折到三角形6后面：


同样规律翻折：


最后得到一根压扁了的螺线管，下图中三角形19在三角形18的后面，三角形1处是单层的，其余各三角形处都是双层：


再沿右往左数第三个和第四个三角形之间的折痕（上图13、14之间），把折痕左边的纸条向后翻折：


再沿上图细线所示的折痕，细线以下部分向后翻折过去得到下图：


再将后面的三角形1～4改到前面，挡住三角形18：


再整体翻过来，将现在底下的单层的三角形1包上来，粘牢：


完成折纸后，每翻变一次，在六边形的中心区域画上一种花样。


翻变方法如下，先使六根半径依次一凸一凹：


再由中心向三个方向开花般地打开，打开后，原来在中心区域的花样跑到反面的边缘区域，新的中心区域如果是空白的，又可以画上新花样。有人边翻边画，共画了15种中心花样。


变脸折纸的奇妙特性由普林斯顿大学的研究生斯通（Arthur H. Stone）在偶然中发现。
理查德•费曼（Richard P. Feynman）曾是普林斯顿“变脸折纸委员会”的一员。
目前变脸折纸已有一套完整的数学体系。
最快将全部的“脸”翻出来的方法叫做“塔克曼穿越”，具体做法是：在同一个角上不停地翻折，直到翻不了为止，再在其相邻的角上重复该步骤。我用此方法可以在20秒之内翻出全部的脸。
在两个只能显示出两种图案的六边形的边上可以画上图案，该图案是翻不出的。
变脸折纸还有许多奇妙的构造，有兴趣的朋友可以自行搜索。

乌木

此物确实有意思，比如，我到现在为止，只翻画出了15个中心花样，假定不能再多了，那么，为什么呢？

一共18个单元三角形，每个三角形有3个“小角区”，正反两面就有6个小角区。18个三角形的正反两面共有18*6＝108个小角区。
六边形的每一中心花样用掉6个小角区，108个角区照例可以有18个中心花样。
现在只画出了15个中心花样，假定不能再多，说明还有3*6＝18个小角区是不能翻到六边形中心区域的。
我初步试下来，这18个小角区只能出现在六边形的边缘区域，到不了中心区域。
对吗？

此外，15种中心花样就是15种整个六边形花样，因为每一种中心花样搭配的周边花样是固定的，而且只能同面六边形之内三轮换，别的小角区进不来的。比如，下图花样要么不翻出来，要出现的话只能是这样的三种翻变：


还有三种六边形花样的变换规律是，每一六边形花样只有两种变化，下图中的（例如）黄色小角区是翻不到中心区域的：

乌木

qajlyhqpy 发表于 2012-8-5 11:06
帮楼主发个链接http://www.guokr.com/article/298884/

1楼有这个链接的。

乌木

我初步翻出来的15种花样如下图，应该是全了，因为全部108个“小角区”都翻出来了，而且其中能够翻到中心区域的都到过中心区域了。下图每个粗黑线框内含有18个小角区，六个框共108个小角区：

乌木

有趣的是，正反面关系并不唯一，初步摸索情况如下：

乌木

22、23楼没有标记1～19个单元三角形，得到15种花样以及正反面关系不唯一。
标记了1～19（正反面）单元三角形之后，初步摸索花样不止15种，花样的正反面关系好像还是唯一的。
类似于全色魔方的状态数比纯色的多。

今天在变脸六边形上画好花样（下图中用黑色数字代表）之后，为了看看这玩意儿究竟如何变化的，拆开纸条，补做了单元三角形的标记1～19和1'～19'（1' 和19粘贴后，可以把19'看作1' 了）如下图 ：


再恢复为变脸六边形，一番折腾下来，就看到花样数不止15，正反面关系也是唯一的了，初步摸索得到下图情况，红线两端互为正反面：


不敢说花样数完全了，各位帮助看看是否完全。这幅图所显示出的种种规律，着实耐人寻味啊！

乌木

24楼18个花样的关系如下，绿框内的花样含有相同元素，红线两端互为正反面，所以就正反面整体而言，这变脸六边形有9个状态：