一道求十倍角展开式系数的问题

lulijie

利用棣莫弗公式 来计算
(cosθ+i*sinθ)^k=cos(kθ)+i*sin(kθ)
(cosθ-i*sinθ)^k=cos(kθ)-i*sin(kθ)
cos(kθ)=1/2*((cosθ+i*sinθ)^k+(cosθ-i*sinθ)^k)
k为偶数时，虚数部(二项式展开式的奇数项)全部消除，4倍数余2项的系数为负。
cos(10θ)=((cosθ)^10-C(10,2)*(cosθ)^8*(sinθ)^2+C(10,4)*(cosθ)^6*(sinθ)^4-C(10,6)*(cosθ)^4*(sinθ)^6+C(10,8)*(cosθ)^2*(sinθ)^8-(sinθ)^10)
设x=(cosθ)^2
那么(cosθ)^10-C(10,2)*(cosθ)^8*(sinθ)^2+C(10,4)*(cosθ)^6*(sinθ)^4-C(10,6)*(cosθ)^4*(sinθ)^6+C(10,8)*(cosθ)^2*(sinθ)^8-(sinθ)^10=x^5-C(10,2)*x^4*(1-x)+C(10,4)*x^3*(1-x)^2-C(10,6)*x^2*(1-x)^3+C(10,8)*x*(1-x)^4-(1-x)^5
设f(x)=x^5-C(10,2)*x^4*(1-x)+C(10,4)*x^3*(1-x)^2-C(10,6)*x^2*(1-x)^3+C(10,8)*x*(1-x)^4-(1-x)^5
楼主所求的就等于-f(-1)=1+C(10,2)*2+C(10,4)*2^2+C(10,6)*2^3+C(10,8)*2^4+2^5＝3363

[ 本帖最后由 lulijie 于 2012-4-15 18:24 编辑 ]