一道求面积的题

钟七珍

　　设正方形的边长为A，则a区域的面积＝（Pi／4－5*3^(1/2)／16）A^2 ，约等于：24.41%A*2。
　　将边长Ａ＝20 代入，则a区域的面积＝100Pi－125*3^(1/2) ，约等于：97.65。
　　具体分析过程略。（思路可能不止一条）

钟七珍

　　咦！我在５楼的结果怎么与４楼不同？
　　仔细检查，发现５楼思考环节发生错误，当然结果也错误。再议。

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2012-2-1 00:21 编辑 ]

钟七珍

　　重新分析了一遍，计算结果为：（Pi／4－3/4*arctan(1/2)－1/2）A^2。
　　将A＝20 代入，得：50Pi－300arctan(1/2)－200，约等于96.174，与4楼计算结果数值相同。

钟七珍

　　谢谢谢老师为5楼加分鼓励！不过，我在５楼的结果是错误的。我重新计算后，在７楼的结果才是正确的，与４楼计算数值相同（96.174）。
　　此题如果不用反三角函数，用初中几何知识也可以求解，只是需要分步进行。已知∠CAF 的正切为2分之1（参见8楼图形），查出此角的数值；再计算扇形GAF 和扇形GCFR 的面积，相加后，减去半个正方形面积（即不规则四边形CFAG的面积），就得到阴影a区域的面积，即7楼的结果。

钟七珍

原帖由 则卷同学 于 2012-2-1 10:54 发表
这样不知道行不行，如图所示。角ACB和角ADB可求出对应扇形面积，然后减去包含三角形的面积即可。

　　这就是我在１４楼的思路！两个三角形的面积之和，即不规则四边形DBCA的面积，其值等于半个正方形的面积（1/2*20^2=200）。而求扇形面积则必须先求∠DCB 的大小（tan∠DCB＝1/2）。

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2012-2-1 11:44 编辑 ]

钟七珍

原帖由 则卷同学 于 2012-2-1 11:41 发表
回复楼上，就是这里没看懂，【其值等于半个正方形的面积】...

是你硬算出来的，还是？

　　借用１５楼图形，连接DC。从扇形的对称性很容易看出：三角形DBC与三角形DAC全等。而三角形DBC的面积等于1/4正方形的面积.

钟七珍

　　借用22楼的图形：

设正方形的边长为A，A＝20。
△DAC与△BAC全等。
BC=CD=2AD=2AB=A=20
tan∠ACB=tan∠ACD=1/2，∠DCB= 2arctan(1/2)
∠BAC=Pi/2－∠ACB，∠BAD= 2∠BAC=Pi－∠DCB= Pi－ 2arctan(1/2)
扇形DCB面积为 (PiA^2)*2arctan(1/2)／(2Pi)=arctan(1/2)*A^2
同理，扇形DAB面积为 (PiA^2／4)*(Pi－2arctan(1/2))／(2Pi)=(Pi／8－arctan(1/2)／4)A^2
　　a的面积为：S=扇形BCD+扇形BAD-2△BAC
　　＝arctan(1/2)*A^2+(Pi／8－arctan(1/2)／4)A^2
　　＝（Pi／8＋3/4*arctan(1/2)－1/2）A^2
将A＝20 代入，得：S=50Pi＋300arctan(1/2)－200，约等于96.1739。

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2012-2-2 11:18 编辑 ]