曲线内接图形

jx215

证明或否证，平面上任意一条封闭曲线上总能找到四个点，组成一个矩形或菱形。另外，任取三点，是否恰能组成一个正三角形？

[ 本帖最后由 jx215 于 2011-12-2 12:21 编辑 ]

华容道

matrix67的博客上貌似有这个问题。

华容道

内接正三角形是肯定存在的，且有无数多个。

superacid

目测吧里没人会证明，虽然很多人知道答案

lulijie

平面上任意一条封闭曲线上总能找到四个点，组成一个菱形。
对于上述命题，我有下面的思路。



在闭合曲线上任取一点A，以r为半径做圆交曲线于B、D点，这样曲线被直线BD分割在两边。
作BD的垂直平分线(肯定经过A点)交曲线于另一点C。设BC=R。
当r很小时，R>r;
当r很大时，R<r.
所以当r逐渐增大时，必然会有r=R的时候。
而此时，四边形ABCD就是菱形。

lulijie

对于正三角形，以下思路。
两条平行线L1，L2，把曲线夹在内部。然后两条平行线平行靠拢，直到与曲线相切为止。(切点处曲线平滑，不是拐点，不行重选L1、L2)
接着，L2不动，L1向L2平移，与曲线相交于A、B点，作AB的垂直平分线交另一边的曲线于C点。
开始AB<BC,
移到L2附近时，AB>BC。
所以移动过程中必有AB=BC的时候，这时三角形ABC就是正三角形。

ares_g

原帖由 lulijie 于 2011-12-3 10:36 发表
平面上任意一条封闭曲线上总能找到四个点，组成一个菱形。
对于上述命题，我有下面的思路。

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在闭合曲线上任取一点A，以r为半径做圆交曲线于B、D点，这样曲线被直线BD分割在两边。
作BD的垂直平分线(肯定经 ...

这证明肯定有问题，当r=R时，B必定在AC的中垂线上，D可不一定了。

lulijie

答复7#
AB=AD=r
CB=CD=R
当r=R时，四条边AB=AD=CB=CD，不是菱形是什么。

lulijie

平面上任意一条封闭曲线上总能找到四个点，组成一个矩形。
对于上述命题，我有下面的思路。
任意建立直角坐标系，将曲线包在内部的两条与Y轴平行的平行线逐渐靠拢，直到与曲线相切为止。切点分别为A、B。

过A作X轴的平行线交曲线于Q点，过B作X轴的平行线交曲线于P点，,
平行于Y轴的直线L1，交曲线于两点，过该两点分别作X轴的平行线交曲线于M、N点，这样MN将闭合曲线分成两部分，其中一部分曲线的长度短些，该部分曲线上的平行于MN的切线的切点为P’
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这样从直线L1，经过变换获得直角梯形(斜边为MN，当MN平行于Y轴，就是矩形），以及切点P‘（MN的斜率等于P’切线的斜率。）
L1，从B点的位置开始逐渐向A点的位置平行移动过程中，P‘点逐渐从P点向Q点移动，无论是顺时针移动还是逆时针移动，P’必经过B点或A点，这时MN就平行于Y轴，所以此时获得的直角梯形就是矩形。

lulijie

楼上的 P’必经过B点或A点 的判断有误。