证明题：四维是最麻烦的维度

乌木

“ggglgq”给出过一个动画，我觉得有助于理解四维立方体。

一维，只能做出一条线段a；
二维，可以按照规律做出一个axa的正方形；
三维，按照同样的模式可做出axaxa的立方体。
画在平面上的立方体，立体感画得好的话，我们仍然理解它每根棱长度都是a，两根相交的棱是垂直的，一个顶点上有三根相互垂直的棱，六个正方形构成一个正六面体。这就是三维物体在二维中的表达。
四维，在三维立方体的基础上，按照相同模式，8个顶点再长出8根长度都等于a的棱，再把新的8个端点用长度都是a的12根线段联结起来，就得到四维正方体了。它的32根棱长度都是a，两根相交的棱都是正交的，一个顶点上有四根相互正交的棱，由8个相同的三维立方体构成一个四维正方体。它在三维空间的投影最好让它运动起来，只是能运动的三维模型不容易做出。
ggglgq给出的下图是进一步把它画在二维的屏幕上，并让它动起来。看得出，由8个三维立方体构成一个四维正方体，是否可以叫“正八胞体”？
      

立方体的投影方式不少，下图右面一种常用于看立方体的内部，比如看一个房间内的天花板、地板和三面墙壁，
这种投影同样表示六个正方形组成一个立方体（正六面体）。
我要说的是，下图右面的投影和上面动画所表示的四维立方体（正八胞体）在三维空间的投影，方式多么相似！
   





[ 本帖最后由 乌木 于 2011-7-4 17:45 编辑 ]

乌木

我想，那动画也只是帮助理解四维空间几何体，并非四维立方体就是那种样子的（比如，它不动的话，又该是什么样子呢？）。我们三维人不容易想象四维东西。
正像三维立方体在三维空间可以做出实际的模型，但是在二维平面中，是不可能做出三维东西的，只能让三维东西投影到二维，在我们的头脑中对这种投影图加工之后，想象出三维东西。但是“二维人”就不可能理解这种投影图。
我们三维人看了四维立方体的三维投影或二维投影，还是不容易想出四维立方体究竟是什么样的，只能推理出它的一些性质。

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此外，三维东西在二维平面中的投影，弄不好我们的头脑加工后会出错。比如，最近看到下面这个图片，我就奇怪：怎么图中最近的这一家向南、向东开两个大门？沪上有这种事吗？


我就“百度”了更多的有关图片，明白了，这一排是五家，每家一个大门，最近的这一家遇到马路转角，其大门只好向东南方向开了。




[ 本帖最后由 乌木 于 2011-6-28 13:26 编辑 ]

乌木

正是。
上面第一图取仰拍，当然气势较雄伟，但很容易使人误解为那两扇大门是互相垂直的（一朝南，一朝东），再加照片右面的景物裁去后，更看不出它是朝东南开的了。
这恐怕也涉及三维事物投影到二维平面上时，如何尽可能多地反映三维信息。
以前noski介绍过的“摇头龙”，看来也是因三维信息不足造成了视觉误差，反过来被利用来逗乐。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-6-28 20:42 编辑 ]