世界上最神奇的数字是：142857

superacid

这就是有技术和没技术的区别

龚永明魔方

5882352941176470

海上晴天

谢谢 长知识了 我只从河图和周易出发研究过六位循环节

tm__xk

可以理解....

tm__xk

感觉就是看到一些规律的似乎存在,就试图找出一大堆类似的..
却不去想想为何存在..
于是就无法理解这些规律的理所当然..

类似规律找得越多,有人会认为越是神奇,有人会认为都是找之前就知道显然的..

wskcc577

原帖由 redcarrot 于 2011-6-27 17:50 发表
就记得1/7是0.142857循环
以次类推升息的到6/7
剩下的并不知道

额。。。我和你一样，看了楼主的发表，目瞪口呆。。。

龚永明魔方

长知识了，发现了“循环节”的变化关系。
这个质数越大，那么它的循环节越长。
于是，寻找一个较大质数的倒数的循环节变得容易。

大概这还算是比较实用一些。

1/7是0.142857循环，6个数字循环，推测，1/17是16个数字循环，1/29是28个数字循环，……如此等等。

是否是这样，大家一起来验证。

龚永明魔方

找了找，原来是这样的。
关于欧拉函数与循环节长度
求1/2008的循环节长度。
我看了版主hejoseph的关于计算1/n的循环节位数的帖子，用欧拉函数算的，可是这题仍然算不出来，请指教!
这是安徽2008年联赛初赛题选择题，选项：30，40，50，60 ，答案是50

2008=23×251，
φ(251)=250，
250的正因数有1、2，5、10、25、50、125、250，x取上述正因数并且满足10x≡1 (mod 251)的最小的x是50，所以1/2008的循环节长度是50。


欧拉函数φ(n)：欧拉函数是一个定义在正整数上的函数，φ(n)的值等于以下这些整数0、1、2、…、n-1与n互素的数的个数。
由定义知，φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，……，当p是素数时，φ(p)=p-1。
欧拉函数的计算方法：设n的标准分解式子是p1^k1·p2^k2·…·pm^km，其中p1、p2、…、pm是互不相等的素数，k1、k2、…、km都是正整数，则φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pm)。
例如φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4。
欧拉定理：设a、m为整数，m>1，(a,m)=1，则a^φ(m)≡1 (mod m)。
整数的次数：a、m为整数，m>1，(a,m)=1，k是使a^k≡1 (mod m)成立的最小正整数，则k叫做a对模m的次数。
次数定理：设a对模m的次数为k，n是满足a^n≡1 (mod m)的正整数，则k|n。
欧拉函数的计算方法、欧拉定理的证明、次数定理的证明可以找初等数论的书，这里就不发上来了。

由欧拉定理可以得到求1/n循环节长度的方法。
举个简单的例子。
例如n=11，则φ(11)=10，根据欧拉定理10^10≡1 (mod 11)，所以循环节长度一定是10的正约数。而10的正约数有1、2、5、10，从小到大逐一检验，得到10^2≡1 (mod 11)，所以1/11的循环节长度就是2。
虽然这个方法可行，但因数多时仍需要做很多的验证，需要有更有效的改进方法。
假设a、n是大于1的正整数，p是素数，则a对模p的次数没有什么好办法去求，只能用上面的方法。
其它情形有下面两个定理：
假设a、n是大于1的正整数，n的标准分解式是p1^k1·p2^k2·…·pt^kt，其中p1、p2、…、pt是互不相等的素数，k1、k2、…、kt都是正整数，a对模pi^ki的次数为mi，则a对模n的次数为m1、m2、…、mt的最小公倍数。
如果a、n是大于1的正整数，p是素数，k是正整数，a对模p^k的次数是m，则a对模p^(k+1)的次数是m或pm。
这两个定理也可以从初等数论里找到证明，我也不发上来了。

再举一个例子
539=7^2×11
10对模7的次数为6，那么10对模7^2的次数或者是6或者是42，经计算验证得10对模7^2的次数是42。
10对模11的次数为2。
所以10对模539的次数为2和42的最小公倍数，即42，所以1/539的循环节长度为42。

[ 本帖最后由 龚永明魔方 于 2011-7-7 09:58 编辑 ]

龚永明魔方

小数的循环节长度是否有规律
1/47= 0.0212765957446808510638297872340425531914893617...   循环节长46= 47-1
1/53=0.01886792452830188679245283...  循环节长26= (53-1)/2
1/41=0.02439.....  循环节长 5= (41-1)/8


现在知道了，
1/539的循环节长度为42。
怎样求出这个42位数字呢？

[ 本帖最后由 龚永明魔方 于 2011-7-7 10:08 编辑 ]

tm__xk

"如此等等"啥意思?对所有素数?
反例见30l及28l.

至于说"变得简单"..这到不会..因为本来就够简单的了..