圆上作弦的概率问题

钟七珍

　
　　在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
　
　　我搜集到有七种解法。但哪种方案才是合理的呢？

ares_g

我还是坚持我在24楼的意见。
所谓随机，一是方向随机，二是位置随机。
可以模拟一个场景：地上有一个正方形托盘，托盘上有一绕圆心不停匀速旋转的圆环，你手中拿着一根无限长的“弦”从非常高的地方扔下去，如果弦一碰到圆环，就粘到圆环上并让圆环立刻停止转动。
解释一下：
非常高，就是要随机、要均匀，包括扔不到圆环上——当然这些数据不在统计范围只内；
因为“弦”是无限长的，我们又没有瞄准，从非常高的地方扔下去，所以在正方形上的落点是均匀的，也就是在24楼图中从左到右弦的密度是均匀的；
圆环不停转动，说明“弦”落到圆环上时与环的相对方向是均匀的。
这样一来不就是1/2了么？

pumpitup

我表示还不知道到底哪个是正解……

黄家小子

我的第一反应跟第一种解法一致。

小兔兔

看“随机”怎么理解，如果是圆周上任取两点的话，可将这两点分别作为横纵坐标，满足条件的点的面积占总面的1/3，所以概率为1/3

冰儿郎

但仍旧支持第一种解法·

冰儿郎

有没有考虑弦和内接三角形边长相等的情况。
这样比忽略弦和内接三角形边长相等的情况得出的答案还少一种情况。
这个。。。

appletree444

我定义均匀的大前提：一个面内的点都是密度均匀分布的，即是说无论我们在这个面内任取某一小块，其密度都是一样的；而且任取相同面积不同形状的两块，它们各自所包含的点应该算是一样多的。从这个意义上讲，圆内各点应该是均匀分布的。而且从这个意义上来说一个大圆所包含的点比一个小圆所包含的点多。（虽然无穷多确实是比较不了大小的，但是我的定义是）
对于解法三，其实我觉得从下面这个意义上它符合一对一原则：过一条弦作圆心的垂线，这条弦和与之相交的垂线的垂足（弦的中点）就和这条弦一一对应。即从圆上任意取一点，以这点为垂足就可得到对应的一条弦；反之，任取一条弦，那么也就确定了它过圆心的垂线的垂足。那么用面积的方法算，得到的答案确实是1/4。

再反观解法二，举例说，到圆心距离为0.75的弦有无数个，把这些弦都用它的中点（即垂足）一一对应，其垂足点组成的圆轨迹我们称作大圆A。同样道理我们把到圆心距离为0.25的弦的中点组成的圆轨迹称作小圆B。我们从上述均匀的意义出发，并不能得出A上的点和B上的点一样多的结论（假如作一条大圆A的半径AD过B教于C，然后说这样大圆上的点D就和小圆上的点C一一对应，所以大圆上的点就和小圆上的点数一样多，这样会造成圆心处的点很密集，而离圆心越远则点越疏，这样我觉得是违背上面的密度均匀分布论的）。所以解法二从这个角度来说就站不住脚。

最后反观解法一，如图，在中间的60度角的范围内，由于弦AB和弦AC并不一样长，根据解法二的分析，弦AB与弦AC出现的概率是不等的。所以在上述定义的均匀分布的大前提下，解法一是不可取的。

[ 本帖最后由 appletree444 于 2010-1-27 13:07 编辑 ]

Honku

几何概型的概率是不定的
一般的题目都会给出相应的条件
比如
“三角型中,做一角的射线交三角形于对边,长度是几分之几的概率”和“在三角形的一边上任取一点,使得长度是几分之几的概率”
一个要用角度去算,一个则要用长度去算
因为衡量的标准不一样
所以计算所得的结果也不一样
所以楼主的解法都可以,只是出发点不用,所以有不同的结果

liuzr

3楼解法二的结论是正确的。