各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质 和 “ N 陪集魔方”拓展

ggglgq

最近“理论派”魔友正在研究这个东东，这里给出归纳总结！


比如这个帖子： 由二元置换看魔方的奇偶性 ， 请大家参考。


http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7517

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-18 17:15 编辑 ]

ggglgq

　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　 最近《关于魔方最少步数的问题》主题的探讨涉及到此问题，顶出来方便浏览！
　　　　　　　　
　　 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=21997&extra=page%3D1&page=1　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　

ggglgq

原帖由 noski 于 2009-7-8 13:28 发表

对于“奇偶差异性魔方”的概念是懂的，不过对于“陪集”的概念不甚明了，还请g老师解读一下。。
我的理解是这样：
1. 比如对于奇偶差异性魔方来说，魔方正常的状态数为N，这N个状态之中，奇性质的状态有N / 2个，偶性质的状态有N / 2个，如果拆分开来，奇状态集和偶状态集的结构是相同的，所以叫二陪集，但这两个集合之间是可到达的。
2. 另一种想法是，魔方正常的状态数为N，错装的状态数有m个N，这（m+1）个N状态集合之间是不可到达的，那么这叫（m+1）陪集；
不太懂陪集的概念，不知哪个更正确一点呢？

　　
　　
  
  
    “陪集”是群论中的基本概念（相关内容请大家自己查阅相关资料）。我在
  
循环变换理论中赋予它“ N 陪集”的特别意义！ 它的含义应该是指你理解的 1
  
而绝非 2 。
  
    在整数集合中谈“ N 陪集”大家可能容易理解接受。比如 对于任意正整数
  
N ，整数集合的所有元素被 N 除后的余数为 0 、 1 、 2 、  ...  、 N-1 ，
  
因此 整数集合被 模 N 分为 “  N 陪集”  。
　　
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
　　
  
     N 陪集魔方 是 左陪集＝右陪集，并且 N 个陪集两两交集为空集 的陪集。
  
它们对公式的长度来说，严格被 模 N 分为 “　N 陪集”，即同一 陪集 中的
  
两个状态 之间的步长互相都相差 N 的整数倍。
  
  
    提醒一下，对于 正六面体 N 阶魔方 来说，它们只能构成 “ 二 陪集魔方”、
  
“ 四 陪集魔方”。 其中的 “ 二 陪集魔方” 就是 “奇偶差异性魔方” 。
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
　　
　　
　　
  
    当然是。 “ 六 陪集魔方”、“ 八 陪集魔方” ...“ 2N 陪集魔方” 都是
  
“奇偶差异性魔方”。
  
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
    下面举几个“ N 陪集魔方”的实例，以备大家理解和参考：
  
  
    三陪集魔方 实例：
  
    正四面体二阶魔方（Skewb）

  
    正六面体四轴二阶魔方（Skewb）

  
    正十二面体 三陪集魔方

   
  
  
    五陪集魔方 实例：  
  
    (仅举两个实例，举多了也没多大意思，大家理解了就好) ：
  

  

　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

ggglgq

Fenz 发表于 2013-11-15 12:34
谈奇偶差异应当基于簇，以及簇之间的奇偶关联。基于魔方的话太模糊了。“N陪集”的定义也只适用于正多面体群的魔方，范围窄了些。

　　
　　
  
    楼上的观点本人不太赞同，我前面举的例子是为了让各位魔友容易理解，尽量
  
举简单易懂的魔方，但“ N 陪集魔方”可没楼上的这位魔友想象的那么简单呀。
   
    一、我的“奇偶差异性魔方”的定义不可能否认魔方簇之间的奇偶关联，相反
        我在 7 楼、34楼等楼层多次提到的 《“奇偶差异性”魔方的判定定理》恰恰
        运用和重视了“魔方簇之间的奇偶关联”。
  
    二、“ N 陪集魔方 的定义也只适用于正多面体群的魔方”的观点是错误的。
        N > 2 的例子我就不必举了，仅就 N = 2 的例子就不胜枚举，除了 M×N×P 阶
        长方体魔方的反例外，还有像下面“奇偶差异性”魔方中右边两个也是反例呀：
  

  
　　
　　
　　
　　

ggglgq

Fenz 发表于 2013-11-15 12:34
立方体魔方也是有无奇偶差异的簇，比如6阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇，像五魔方的的簇一样，无法通过正常转动进行奇偶变换。　　

　　
　　
  
    三、“立方体魔方也是有无奇偶差异的簇”的观点是错误的。
        根据我对正六面体 N 阶魔方的粗浅了解，正六面体 N 阶魔方“所有簇”都具备
        “奇偶差异性”，包括“中心簇”也具备“奇偶差异性”。  至于 Fenz 所说的：
   
        “6阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇，无法通过正常转动进行奇偶变换。”
  
        我怎么觉得可能是 Fenz 眼花了看错了吧？！ 它们是具备“奇偶差异性”的呀。
   
或许 Fenz 的意思是说“6 阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇”是“两镜像簇”，
  
它俩“镜像簇”之间无法通过正常转动进行“块交换”，对吗？ “镜像簇”永远都无法
  
通过正常转动进行“块交换”，也无需进行“块交换”，但这并不影响“奇偶差异性”呀。
  
“镜像簇 无法通过正常转动进行 块交换”与“奇偶差异性”是两回事，
   
它能自身奇偶交换就足够了，故 正六面体 N 阶魔方“镜像簇”也具备“奇偶差异性”。  
　　
  
    总之，“ N 陪集魔方”的范围虽小，但它涵盖了我们现有魔方的 90 % 以上，只有
  
把它们研究好了才能更好地研究更广泛的魔方呀，这是“不可或缺”、“至关重要”的。
  
  
　　
　　
　　

ggglgq

Fenz 发表于 2013-11-24 11:06
这右边两个都是两极魔方，和左边的三阶长得虽像，却有质的区别，根本不满足10楼的定义。其中中间的魔方不具备奇偶差异性。

　　
  
    我想，不会是 Fenz 又看错了吧？！呵呵。
  
    我怎么看下面的魔方
  

  
都满足10楼的定义，都具备奇偶差异性呀。
  
  
    顺便说一下，中间的魔方“具备奇偶差异性”是指它的侧面按 180度 旋转，它的两极面
  
按 60度 旋转，此时，中间的魔方“具备奇偶差异性”。即便强行规定它的两极面按 120度
  
旋转，这时中间的魔方“不具备奇偶差异性”，但这并不影响它的两极面按 60度 旋转时的
   
魔方“具备奇偶差异性”。 就如同虽然 6 是 3 的倍数，但不能说 6 不是 偶数， 6 虽然
  
是 3 的倍数， 但 6 仍然是具备 偶数 性质的，6 还是 偶数 。
  
　　
　　
　　
　　
　　

ggglgq

Fenz 发表于 2013-11-25 09:41
又看差了，不好意思。不过180°转动不符合10楼定义吧

　　
  
    没关系，探讨魔方时看错是常有的事。希望我们日后多交流探讨，共同提高魔方理论水平。
  
“魔方 180° 转动”对于“奇偶差异性”而言是没有问题的，比如，对于长方体 M×N×P 阶
  
魔方而言，限定各转层都转 180°，仍然是“奇偶差异性”魔方。