关于24同构

pengw

可以肯定,如果一个公式是最短公式,则其逆公式也是最短公式.从前有人谈到镜像公式,我还真不知道,任意公式的镜像公式是如何定义,这个定义的本质意义是什么?根据某些描述,由此产生了96同态,请问这96同态的最短步数都相同吗?如果不同,这样的定义又有什么意义?

况且,任意公式都有镜像公吗?任意公式及其逆公式,以及他们对应的镜像公式都是等长的最短公式?即然有人捣鼓这类概念,就一定能回答这类问题,况且也必须回答这类问题,否则,发明这些概念又为何?

我无意糟蹋高人神来之笔,但是,我有权力要求高人举证回答这类显然易见问题,高人也不能说什么就是什么,自已还不屑于证明.即使是咱们的数学太差,但至少也看得明白证明你自已的魔方状态.

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-5-2 08:54 编辑 ]

铯_猪哥恐鸣

不想浪费精力在翻译和翻译产生的歧义上，请看下面网页吧
http://kociemba.org/math/symmetries.htm

大致的解释就是，我们可以定义4种“基”对称变换（"basic" symmetries）：
S_URF3, a 120 degree         turn of the cube around an axis through the URF-corner and DBL-corner,
        S_F2, a 180 degree turn         of the cube around an axis through the F-center and B-center,
        S_U4, a 90 degree turn         of the cube around an axis through the U-center and the D-center
        S_LR2, a reflection at the RL-slice plane.
则所有的对称变换可以表示成
(S_URF3)x1 * (S_F2)x2 * (S_U4)x3 * (S_LR2)x4with x1 from 0..2, x2 from 0..1, x3 from 0..3 and x4 from 0..1.
这样就一共定义了48个变换，此处不妨记为S_0, S_1...S_47
那么某个变换A的对称变换们为
B_i = S_i^-1 A S_i
这样对于某个状态A，就定义了48个不同的状态B_i，它们就是我们说的A的48同构，或者同态（我不知道这两个名词是怎么来的，也不想争论到底用哪个名词，总之我们找到了48个变换）
最后，存在某些变换A，使得B_i = B_j。也就是说并不是每个变换都可以找到48个同构变换，但事实上确实只有少数状态存在少于48个变换，具体这些状态他那个网站里都有。

[ 本帖最后由 铯_猪哥恐鸣 于 2011-5-3 21:38 编辑 ]

pengw

看了半天,原来说的还是24同构及其对称24同构,显然那个洋文把问题说得太复杂,关键是,我没有看到96同态是如何诞生的

pengw

12楼不妨用二阶枚举一个48同态,另外,这48个同态相对于基态,都有同样的最短路径?如何证明?

铯_猪哥恐鸣

好的，很高兴您在线。
第一个问题：
96同构是怎么产生的：
不知道你有没有注意到，上面所说的四个基对称变换中没有逆变换，事实上，如果加上逆变换，那么就有96个所谓同构了，当然是否应该叫“同构”我自己也没有把握，暂且就这么叫了。
第二个问题：
如何证明相对于基态都有最短路径：
对于上述给出的S_0, S_1, ... S_47，容易证明，如果A为某一种转动（RUBLDF），则S_i ^-1 A S_i也是一种转动。这样就很容易证明同态对于基态都有同样的最短路径。

pengw

相对三阶复原状态，UFL显然是一个最短公式，那么其对应的另外47个同构公式是什么模样？你可以枚举出来否？

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-5-3 22:09 编辑 ]

铯_猪哥恐鸣

手动写起来比较耗时间，久等了，包括UFL总共48个，请核对。
UFL
URF
UBR
ULB
RFU
RDF
RBD
RUB
BUL
BRU
BDR
BLD
DFR
DLF
DBL
DRB
FUR
FLU
FDL
FRD
LUF
LBU
LDB
LFD
U'F'R'
U'L'F'
U'B'L'
U'R'B'
L'F'U'
L'D'F'
L'B'D'
L'U'B'
B'U'R'
B'L'U'
B'D'L'
B'R'D'
D'F'L'
D'R'F'
D'B'R'
D'L'B'
F'U'L'
F'R'U'
F'D'R'
F'L'D'
R'U'F'
R'B'U'
R'D'B'
R'F'D'

[ 本帖最后由 铯_猪哥恐鸣 于 2011-5-3 22:20 编辑 ]

pengw

楼上的结果与1楼命题没有任何区别，如果将你的公式组求逆，结果还是原来的公式组，这就是所谓的96态？

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-5-3 23:01 编辑 ]

铯_猪哥恐鸣

17楼不就是48个等长公式吗？

铯_猪哥恐鸣

求逆的话，由于你给的公式的特殊性，所以确实找不到96个，这一点我前面应该提到了。比如如果你给的公式是UFLF，那么48个等长公式为：
UFLF
URFR
UBRB
ULBL
RFUF
RDFD
RBDB
RUBU
BULU
BRUR
BDRD
BLDL
DFRF
DLFL
DBLB
DRBR
FURU
FLUL
FDLD
FRDR
LUFU
LBUB
LDBD
LFDF
U'F'R'F‘
U'L'F'L’
U'B'L'B‘
U'R'B'R’
L'F'U'F‘
L'D'F'D’
L'B'D'B‘
L'U'B'U’
B'U'R'U‘
B'L'U'L’
B'D'L'D‘
B'R'D'R’
D'F'L'F‘
D'R'F'R’
D'B'R'B‘
D'L'B'L’
F'U'L'U‘
F'R'U'R’
F'D'R'D‘
F'L'D'L’
R'U'F'U‘
R'B'U'B’
R'D'B'D‘
R'F'D'F’

[ 本帖最后由 铯_猪哥恐鸣 于 2011-5-3 23:03 编辑 ]