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N阶纯色正六面体魔方状态数公式。。求验证。。 [复制链接]

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发表于 2011-3-6 15:16:51 |显示全部楼层
声明一下:
由于我最近参加某比赛所提交的相关论文与本贴内容有关,此贴内容暂时由本人删除。论文成绩出来后会再发回来。
号为0573的人就是我(还有一个合作者的号是0574)。

[ 本帖最后由 lzqqqqqq 于 2011-3-21 21:51 编辑 ]
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发表于 2011-3-6 17:15:14 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2012-7-30 23:01 编辑

应该如何验证,我不知道,只好计算一下看答数如何。刚才只算了2~5阶的,结果和http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... &extra=page%3D1 的一致。
要对两帖都对;要错两帖都错,我是不会判断。
此外,最好解释解释式子的含义。对于这种通式,我解释不好,且试试解释解释四阶和五阶,也只能就式子解释,它多算了或少算了什么的话,我是看不出了。

n=4时,算式为 8!×37×(24!)2 / 24 / (4!)6

8!--8个角块的位置变化数;
37--8个角块的色向变化数(38个组装态之中仅1/3是转得出的);
(24!)2--24个棱块的位置变化数为24!,24个心块(暂时把同面的四心标记区分一下)的位置变化数为24!。四阶魔方的棱块不能就地翻色;心块也不能就地自转,移位兼自转,但纯色魔方心块显示不出方向性,故算式中没有棱块和心块的色向变化数;
/24--约定四阶的任一态整体翻旋得到的24种不同方位只计算为一种态;
/(4!)6--每四个心块显示不出区别,故某一状态时,单单四个同色心块的当时的位置分布情况之下,四者内部排列变化数4!只能算作一个位置态。共有六组同色四心,都同样把4!简并为1。这样,刚才暂时把四心标记区分的做法,现在纠正了。
至于每两个棱块看上去一样,这两棱交换不交换不能简并为一个态,因为交换必翻色,不算同态。
还有,纯色四阶允许交换两角而不影响棱块,也允许单单交换两棱,故不必如三阶那样,角块和棱块的位置随机组装数无须除以2。


n=5时,算式为 8!×37×210×12!×(24!)3  / (4!)12

210--12个中棱块的色向变化数和三阶棱块一样,不能单翻一个中棱块,只有211;角块和中棱块的位置和三阶的一样,不能单单交换两个块,故角块、中棱块的位置随机组装数8!×12!要除以2。两种校正合并得到×210
12!--12个中棱块的随机组装数。12!×8!这个位置组装数之中仅一半是转得出态,刚才已经除以2;
(24!)3--24个边棱块的位置变化数为24!,24个斜心块的位置变化数为24!,24个直心块有24!个位置态;
/(4!)12--六组同色斜心块,每组4块,四块内部位置变化4!简并为一态。六组斜心块就要除以(4!)6;还有六组直心块,类似,要除以(4!)6

好像更高阶时,算式的解释可以类推,只是心块的分簇别弄错。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-6 20:50 编辑 ]
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发表于 2011-3-6 20:45:04 |显示全部楼层
我上面说了,也只能就式子解释,它多算了或少算了什么的话,我是看不出了。
有些事我还未想通,请教于大家。
比如,四阶,角块做了一个二交换的话,棱块可以不变(即可以独立回复原状),但是心块一定也会有奇数个偶轮换(比如也有一个二交换,好像是无法独立使心块回复原状的),这种制约关系会影响那个四阶算式的正确性吗?好像那算式中没有体现这一制约关系吧?需要体现吗?如何体现呢?
比如,正像三阶中,角块和棱块不能单单交换两个块,以致它们的位置转得出数不是8!×12!,而是8!×12!/ 2,那么,为什么不对四阶的角块的组装数12!和心块的组装数24!之积12!×24!除以2,即它们的位置转得出数为12!×24!/ 2    呢?

对五阶算式我也有类似疑问。

----------------------

这个问题是否可以这样答复:在纯色四阶中,交换了两角之后,伴生的两心交换,如果这两个心块是同色的,就看不出变化;若是异色,总可以选取一个和两个心块之一同色的第三个心块,做独立的三轮换,使心块回复纯色前提之下的“原状”(即假的回复,显示不出心块有变即可),既不影响棱块,也不影响角块。既然不影响角块,刚才的两角交换就相当于单独的两角交换了。
所以,在纯色条件下,关于角块和心块的位置变化转出数只是12!×24!,无须考虑12!×24!/ 2 。
对吗?

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-6 22:12 编辑 ]

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发表于 2011-3-6 21:17:13 |显示全部楼层
恩非常感谢乌木老师,能够耐心帮我算这个公式。
其实我的方法有点不一样,并没有考虑心块的轮换问题。
以四阶为例,对于中心块,我是这样考虑的:
由于是纯色的,那么对于任意一种颜色的块,比如黑色,可以从这24个位置中选4个给黑色,即C(24,4)
然后再选4个位置给黄色,即C(20,4)
以此类推,算出心块的状态数:C(24,4)*C(20,4)*C(16,4)*C(12,4)*C(8,4)*C(4,4)
我觉得这么想会简单得多,也没有用到扰动原理(其实我没看懂。。)

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发表于 2011-3-6 21:20:46 |显示全部楼层
我用这个方法算出了4,5,6阶的状态数,和小Z算的一样(http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=41728&extra=&page=1),和乌木老师给的链接的结果也一样
顺便提醒下小Z那个六阶纯色的数有明显错误。。

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发表于 2011-3-6 21:28:54 |显示全部楼层
那么,你1楼的两个算式是从别处引来,贴出来只是是为了求验证的,对吗?

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发表于 2011-3-6 21:32:26 |显示全部楼层
哦没有,真的没有,那两个公式真的是我自己算出来的,我只是和别人对了下得数
恩具体的文章我也在写,算这个式子也是为了那个文章的

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发表于 2011-3-6 21:45:35 |显示全部楼层
噢,真厉害。
那么,1楼那通式是从比如"C(24,4)*C(20,4)*C(16,4)*C(12,4)*C(8,4)*C(4,4)"等转换而来的,对吗?转换得到的式子恰好分子上的24!、分母上的24和4!都可以如我上面那样加以解释。

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发表于 2011-3-6 22:35:45 |显示全部楼层
恩对,我觉得如果这么想还是蛮简单的。。

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发表于 2011-3-7 08:39:18 |显示全部楼层
楼主给出的式子是正确的。
      先说n是奇数的正确性
      n阶魔方每面中心有(n-2)2个中心块,除中心一块不动其他(n-2)2-1块都动,并且属于((n-2)2-1)/4个不同的方块族,在整个魔方上每个方块族共有24个方块,并且它们是独立的。边上有(n-3)个侧面方块和一个中块,这(n-3)个侧面块对称的是可换的,因此组成(n-3)/2个族,整个魔方每个族有24个块,并且每个族之间是相互独立的,这样,共有((n-2)2-1)/4+(n-3)/2=(n+1)(n-3)/4个相互独立的方块族,而且每个族有24个方块。每个族24个方块的排列是任意的,如果每个族的方块都有标记那么,就有24!个不同排列。然而,每个族的中心块在同一面上的颜色是相同的,有6个面,因此需要除以(4!)6,而编上的侧块,它有2个色,能够区分每个位置,以及每个块,因此不需要除以任何因子。色向反映在位置上了,也不必考虑色相了。边上角块和中块是三阶的,和这些是独立的。把这些乘起来,正好是楼主给的公式。
     n是偶数阶的一样。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-3-7 09:14 编辑 ]

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