三阶魔方奇偶问题

乌木

原帖由 则卷同学 于 2010-12-21 22:03 发表
完全没看懂啊…为什么三循环可以分解成两个对换，不是应该三个么…AB BC CA…

一个三元素的循环等价于两个二交换，请看例子：
初态                  a b c
一个二交换      b a c
再一个二交换 b c a
后者等价于初态的一个三轮换。

此外，一个四轮换经过一个三轮换之后，留下一个二交换：
abcd经一个四轮换得到bcda，
接着任选三个元素cda做个三轮换得到bacd，
对照初态，留下一个二交换，ab变成ba 。

一个序列中，发生偶数个偶循环的话，这个序列仍然保持原来的奇偶性。比如，三阶魔方的12个棱块之中，发生两个二交换的话，奇偶性不变（这是指原来是奇态仍为奇态，原来为偶态仍为偶态），可以用两次三轮换独立消除（即不影响角块和中心块）棱块的这种变化。PLL公式中有具体例子。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-22 10:39 编辑 ]

乌木

原帖由 superacid 于 2010-12-22 00:11 发表
其实应该再讨论一下纯色与全色的区别

是的。比如纯色五阶，遇到“单单”两个非中棱块要交换的情况，谁也不会去追究心块的变化，因为必定有的心块变化看不出。
又比如三阶“图案魔方”，中心块自转变化，就不得不解决一下。
此外，在空心魔方中，看上去的“单单”两棱交换，完成之后就算大功告成了，不必去追究六个隐性中心块是否复原，也无法追究。
在一些异形、迷宫等魔方中，也有一些变化是看不出的。
这类情况使复原工作简化了。

乌木

三阶魔方的角块、棱块的位置变换之后，角块的位置状态和棱块的位置状态的性质有奇偶之分，这一点各位都清楚了。我这里要说的是，查看位置变换，总要有个不变的参照物。这样一来，就有讲究了。
有一种体系是用三阶魔方的中心块作为不动的参照物的，这样，我认为不能再简单地考虑中层转动引起的变化了，此时，变化就不是仅仅四个中层的棱块有变化了。中层的转动要转换为两个表层的反向转动，再查看各块相对于中心块有什么变化。
另一种体系是用魔方的周围环境为参照物的，那么，中层转动就只是四个棱块和四个中心块的变化了。
我想，在同一过程中，不能一会用中心块为参照物，一会又改用环境为参照物，否则会引起混乱。
比如，做一下MU，水平中层转一个90°，相对于中心块而言，角块、棱块虽然有位置变化，但原来的奇偶性质保持不变；但是，相对于周围环境而言，只是中层发生了棱块的一个四轮换和中心块的一个四轮换，魔方的棱块和心块的奇偶情况不再不变了吧？如果说六个心块只能整体运动，没有单独二交换、单独三轮换等变换，不必去探讨心块的奇偶性，那么，相对于环境而言至少棱块有了一个四轮换。
两种结论其实并不冲突，源于不同的前提而已。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-23 15:18 编辑 ]

乌木

通常见到的“空心魔方”和二阶、四阶等还有所不同，后者可以理解为三阶、五阶的某些块完全坍缩为“零”尺寸，连原来块所占据的空间都不留下，所以可以说不存在那些块。但是空心魔方就不同，有的空心魔方的“中心块”还是有物理结构的，缩在内部，外部看不出，相当于原来三阶的中心块变形为一种两头通透的零件。此外，还去掉了中心轴，改用轨道结构。（参见http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=62175&extra=page%3D7，下图是该帖的一图。）



此外，原来三阶中心块位置的空间还保留着，这一点非常要紧。不妨假想六个小立方体形的空间在空心魔方运动时，被转层的四个棱块裹挟着一起运动，空间代替了原来三阶的中心块。这样，空心魔方的变化和普通三阶魔方六个中心块贴上同色色片（或去掉六个中心块盖子）后的变化就完全一样了。不仅如此，还和“有心三阶”的变化规律完全一样！
所以，我想，空心魔方和普通三阶可以同样看待，比如，两者分别做同一个空心魔方专用的两棱交换公式，变化的实质是一样的－－除了两棱交换外，隐性中心块或显性中心块都有奇数个90°整体转，而角块就可以脱身不掺乎进来了，中心块成了角块的“替罪羊”了。
如果空心魔方顺利复原到底，没用到空心魔方的特殊公式，说明其隐性中心块组相对于复原态的中心块组整体转过了偶数次90°，所以不可能出现单单两棱交换的要求了。
普通三阶的一个变化规律是不能单单交换两个块，是有前提的－－中心块不动；一旦中心块可动，再加上中心块看不出或无区别，普通三阶的这一规律就有不同的表现了，就有机会出现空心魔方的所谓特殊现象了。这里隐含着参照物变更这一釜底抽薪般的、变魔术般的“陷阱”。
不妨来做个小实验，把六个中心块临时用白纸贴掉，变成一个和空心魔方一样性质的魔方，打乱，如果把它复原时出现单单两棱要交换的情况，揭开白纸，相对于中心块组，重新查看角块、棱块的位置变化情况，你还会说这状态是单单两棱要交换吗？

总之，我认为，空心魔方的所谓“单单两棱换”是假象。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-25 19:50 编辑 ]

乌木

原帖由 洛阳狼王 于 2010-12-23 16:10 发表
三阶有偶数情况吗？

有，比如从复原态出发，中心块和棱块不变，做一下三角轮换，由于三轮换就是两个二交换的叠加，两个二交换是偶数，所以单单角块的三轮换就是偶数（次二交换）。

也可以把三阶的复原态作为例子，复原态就是零次二交换，零是偶数。

顺便说说，三阶角块有一个二交换，棱块也有一个二交换，各自为奇数（次二交换）情况，也是正常的。
一簇奇数次二交换，另一簇偶数次二交换，就是错装态了，复原不了的了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-23 20:20 编辑 ]

乌木

嗯，也许我把问题搞复杂了。本来三阶空心含有简化问题的意义，我再把中心块请回来，犹如搞“复辟”了。

二阶、唯棱的基元动作是表层90°一转，发生四个块的轮换，相当于三个二交换。如果初态是复原态（系统为偶性），做一下基元动作后，系统切换为奇性了。这就是二阶、唯棱魔方之所以有单单一个二交换的根本原因。

在三阶空心系统中，如果只考虑表层90°一转的话，角块和棱块都发生一个四轮换，就无法解释单单两棱交换的现象。应该把空心三阶的中层90°一转也作为基元动作之一。好，这样一来，发生四个棱块的的轮换，这就是空心三阶允许单单两棱交换的根本原因。至于单单两角交换，只是棱块簇状态和角块簇状态之间的简单转换而已。
此处，不必请回中心块，只要改用环境为参照物即可。
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刚才看到这种魔方（http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?tid=67650&goto=lastpost#lastpost），即使把中心块请回来，也会变成“居无定所”者啦：
   

比起“空心魔方”来，这种“无心魔方”精简得更彻底了！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-24 18:39 编辑 ]

乌木

我没有这种“无心魔方”实物，照片是那67650号帖子中的。图中L层可以那样转，别的表层应该可以同样转法。打乱后应该和空心魔方一样有50％的概率出现单单两个块要交换的情况，我想，对吧？
如果哪位要利用普通三阶MOD这种魔方，建议先把六个中心块弄得无区别，这样，它们平时隐藏在内部，在魔方转动时即使看得到一点原来的中心块，也是没有参照作用的。