三阶魔方奇偶问题

Fenz

最早接触奇偶是在学盲拧的时候，奇偶变换，凡是奇数个块循环，总能分解成三循环完成，而偶数个块则会生下一个对换，若分解成对换，则三循环是两个…n循环是n-1个。由于在三阶魔方里，不能单独调换两个块，所以最后若棱块和角块都剩下一对，那么就无法用三循环公式还原，要用角对换+棱对换的公式。如果把 R2 算作两步，数一数可以发现三循环的公式都是偶数步，奇偶变换的公式都是奇数步。
把一个三阶魔方转U，发现是一个棱四循环+角四循环，奇偶性改变，所以三阶转奇数下奇偶改变，转偶数下不变，有奇偶变换。
五魔方转U，发现可以用三循环还原回来，永远是偶状态，没有奇偶变换。

二阶、四阶、空心三阶等魔方单独换两个块是允许的，所以根本谈不上奇偶。

分析原理，
五魔方一次转动产生四个棱对换和四个角对换，都是偶数，所以只有偶状态。
三阶的一次旋转产生三个棱对换（四循环分解）和三个角对换（中层转的时候是三个棱对换和三个心对换），分别都是奇数，总和是偶数。有奇偶变换。
二阶只有角块，一次旋转产生三个角对换，是奇数，没有奇偶。
空三转中层时只有三个棱对换，是奇数，没有奇偶。
四阶中层旋转三个棱对换六个心对换，是奇数，没有奇偶。
偶数高阶同理。
五阶魔方以及奇数高阶都和三阶一样，有奇偶变换。（也许有人会不以为然，五阶可以像四阶一样换两个边棱快，但是要注意了，这时候有两个边心块也会互换，所以那两个棱块不是单独换的。）

综合一下有奇偶变换的转面魔方有个特点，偶数边形，奇数阶，不缺块种。

不符合的有：五魔方、八面体、金字塔是五边形和三角形，奇数边形； 二、四阶…是偶数阶；空心缺心块、唯棱缺角块块种不全。

[ 本帖最后由 Fenz 于 2010-12-21 22:36 编辑 ]

Cielo

原帖由 Fenz 于 2010-12-25 11:12 发表
啊好像SQ，我还想着怎么把这个中心块的空间给挤掉呢，结果还真有人做到了，想看看其结构，乌木兄能解剖一下吗？

这个的结构应该就是普通三阶啊。

乌木

我没有这种“无心魔方”实物，照片是那67650号帖子中的。图中L层可以那样转，别的表层应该可以同样转法。打乱后应该和空心魔方一样有50％的概率出现单单两个块要交换的情况，我想，对吧？
如果哪位要利用普通三阶MOD这种魔方，建议先把六个中心块弄得无区别，这样，它们平时隐藏在内部，在魔方转动时即使看得到一点原来的中心块，也是没有参照作用的。

Fenz

啊好像SQ，我还想着怎么把这个中心块的空间给挤掉呢，结果还真有人做到了，想看看其结构，乌木兄能解剖一下吗？

乌木

嗯，也许我把问题搞复杂了。本来三阶空心含有简化问题的意义，我再把中心块请回来，犹如搞“复辟”了。

二阶、唯棱的基元动作是表层90°一转，发生四个块的轮换，相当于三个二交换。如果初态是复原态（系统为偶性），做一下基元动作后，系统切换为奇性了。这就是二阶、唯棱魔方之所以有单单一个二交换的根本原因。

在三阶空心系统中，如果只考虑表层90°一转的话，角块和棱块都发生一个四轮换，就无法解释单单两棱交换的现象。应该把空心三阶的中层90°一转也作为基元动作之一。好，这样一来，发生四个棱块的的轮换，这就是空心三阶允许单单两棱交换的根本原因。至于单单两角交换，只是棱块簇状态和角块簇状态之间的简单转换而已。
此处，不必请回中心块，只要改用环境为参照物即可。
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刚才看到这种魔方（http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?tid=67650&goto=lastpost#lastpost），即使把中心块请回来，也会变成“居无定所”者啦：
   

比起“空心魔方”来，这种“无心魔方”精简得更彻底了！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-24 18:39 编辑 ]

Fenz

原帖由 乌木 于 2010-12-23 19:56 发表 通常见到的“空心魔方”和二阶、四阶等还有所不同，后者可以理解为三阶、五阶的某些块完全坍缩为“零”尺寸，连原来块所占据的空间都不留下，所以可以说不存在那些块。但是空心魔方就不同，有的空心魔方的“中心块” ...

同一个事物用不同观点看就会不同，也不可能争论出谁对谁错的结果来。我并不反对乌木兄的观点，只是想说换一种观点，能看到更多东西。
按照乌木兄的观点，空心魔方只不过是中心块颜色被遮住的三阶魔方罢了，但按照我的观点，它是不同于三阶，和唯棱并列的全新系统。

关于空心魔方的轨道，我想说它就像二阶魔方中间的棱块，它只是机械辅助物，不属于魔方的块。以我的观点，魔方的块是变换的主体，且各种块平权，而除了块以外的东西不予考虑。至于是否留下空位的问题我认为不重要，一个只贴了角块的三阶完全可以作为二阶来玩吧。

我也只是提供一个观点，没有争论对错的意思。有一点我还是比较执著，三阶—二阶、三阶—空心是可以类比的。

PS. 玩空心的时候喜欢用角先或桥式

乌木

原帖由 洛阳狼王 于 2010-12-23 16:10 发表
三阶有偶数情况吗？

有，比如从复原态出发，中心块和棱块不变，做一下三角轮换，由于三轮换就是两个二交换的叠加，两个二交换是偶数，所以单单角块的三轮换就是偶数（次二交换）。

也可以把三阶的复原态作为例子，复原态就是零次二交换，零是偶数。

顺便说说，三阶角块有一个二交换，棱块也有一个二交换，各自为奇数（次二交换）情况，也是正常的。
一簇奇数次二交换，另一簇偶数次二交换，就是错装态了，复原不了的了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-23 20:20 编辑 ]

乌木

通常见到的“空心魔方”和二阶、四阶等还有所不同，后者可以理解为三阶、五阶的某些块完全坍缩为“零”尺寸，连原来块所占据的空间都不留下，所以可以说不存在那些块。但是空心魔方就不同，有的空心魔方的“中心块”还是有物理结构的，缩在内部，外部看不出，相当于原来三阶的中心块变形为一种两头通透的零件。此外，还去掉了中心轴，改用轨道结构。（参见http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=62175&extra=page%3D7，下图是该帖的一图。）



此外，原来三阶中心块位置的空间还保留着，这一点非常要紧。不妨假想六个小立方体形的空间在空心魔方运动时，被转层的四个棱块裹挟着一起运动，空间代替了原来三阶的中心块。这样，空心魔方的变化和普通三阶魔方六个中心块贴上同色色片（或去掉六个中心块盖子）后的变化就完全一样了。不仅如此，还和“有心三阶”的变化规律完全一样！
所以，我想，空心魔方和普通三阶可以同样看待，比如，两者分别做同一个空心魔方专用的两棱交换公式，变化的实质是一样的－－除了两棱交换外，隐性中心块或显性中心块都有奇数个90°整体转，而角块就可以脱身不掺乎进来了，中心块成了角块的“替罪羊”了。
如果空心魔方顺利复原到底，没用到空心魔方的特殊公式，说明其隐性中心块组相对于复原态的中心块组整体转过了偶数次90°，所以不可能出现单单两棱交换的要求了。
普通三阶的一个变化规律是不能单单交换两个块，是有前提的－－中心块不动；一旦中心块可动，再加上中心块看不出或无区别，普通三阶的这一规律就有不同的表现了，就有机会出现空心魔方的所谓特殊现象了。这里隐含着参照物变更这一釜底抽薪般的、变魔术般的“陷阱”。
不妨来做个小实验，把六个中心块临时用白纸贴掉，变成一个和空心魔方一样性质的魔方，打乱，如果把它复原时出现单单两棱要交换的情况，揭开白纸，相对于中心块组，重新查看角块、棱块的位置变化情况，你还会说这状态是单单两棱要交换吗？

总之，我认为，空心魔方的所谓“单单两棱换”是假象。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-25 19:50 编辑 ]

洛阳狼王

三阶有偶数情况吗？

Fenz

原帖由 乌木 于 2010-12-22 19:04 发表 三阶魔方的角块、棱块的位置变换之后，角块的位置状态和棱块的位置状态的性质有奇偶之分，这一点各位都清楚了。我这里要说的是，查看位置变换，总要有个不变的参照物。这样一来，就有讲究了。有一种体系是用三阶魔 ...

关于乌木兄提出参照的问题，上面我没有特意说清，我用的是环境参照系，因为中心块参照不适用于二阶、四阶、空心等魔方。

另外，我没有考虑空心魔方所谓的“隐性中心块”，不存在就是不存在，如果说要考虑，那么唯棱是不是要考虑隐性角块呢？二阶是不是也要看成有隐性棱块隐性中心块的三阶呢（许多二阶确实有隐藏的棱块，但那只是机械辅助零件，不属于魔方的块）？

还有关于纯色的问题，我认为奇偶问题属于位置交换理论的范畴，应该要考虑所有块与块之间的互换，包括全同块之间的互换，比如四阶或五阶的中心块互换。
或者可以说即使是纯色魔方，也要当作图案魔方来处理，当然由于我们没有考虑色相，散结中心块这样的问题不是考虑的范畴。