论三阶魔方总变化数

hubo5563

可以这么考虑，我们把魔方架子看成是具有12个楞块位置和8个角块位置的容器，棱块和角块看作是物体，需要往里面摆放，这个显然满足乘法法则。先摆放棱块，后摆放角块，棱块位置共12个，那么第一块就有12种位置，选定位置后，第一块可以正向放，也可以反向放，因此有2×12种方法，放好第一块，第二块可放位置，除不能放到第一块位置外，哪里都可以放。因此考虑放到位置和方向，就有11×2种，以此往下推，第11块可以有两个位置，考虑方向共有2×2种，当放完第11块后，第12块位置和方向也就确定了。因此棱块共有12！×（2的11次方）种摆放方法。角块摆放时，第一块有8个位置，有3个方向，有8×3种摆放方法，第二块除第一块位置外，那里都可以摆放，有7种位置三个方向共有7×3种，以此类推，第7块有2个位置，3个方向，但是位置摆放不自由了，受到棱块的制约，也就是说，角块第7块只有一个位置，但方向没限制有3种，因此第7块具有3种方法，把第7个角块摆好后，第八块的位置和方向都确定了，只有1种方法。这样角块摆放有8！除以2乘3的7次方，因此魔方状态共有12！×8！×（2的10次方）×（3的7次方）=43252003274489856000种，因此原来给出的结果没错。
     也可以先摆放角块，第一个角块8个位置3种方向有8×3种摆放方式，第二个有7×3种摆放方法，以此类推，第7个有2种位置，3个方向有2×3种摆放方法，放好第七块后，第八块位置和方向都已经确定，所以角块共有8！×（3的7次方）种摆放方法。然后摆放棱块，第一个有12×2种摆放方法，第二块有11×2块摆放方法，以此类推，第10块有3×2种摆放方法，第11块摆放位置受角块制约，只能1种位置，2种方向，就2种摆放方法，第12块方向位置都以确定，因此棱块共（12！÷2）×（2的11次方）种方法，因此总魔方有8！×（3的7次方）×（12！÷2）×（2的11次方）=43252003274489856000种，因此原来给出的结果没错。
    楼主说的：
1、每2个角块无法单独互换；
2、每2个棱块无法单独互换；
3、每1个角块无法单独换色；
4、每1个棱块无法单独换色。
缺一条，两个角块和两个棱块可同时交换。
   魔方连同错误状态总状态有12！×（2的12次方）×8！×（3的8次方）种，由于最后的一个角块无法单独换色，所以需要除以3，由于棱块最后一个不能单独换色所以需要再除以2，又由于棱块和角块无法单独换位置所以需要除以4，但两个角块和两个棱块可同时交换，需要乘以2，最终还是12！×（2的12次方）×8！×（3的8次方）除以12=43252003274489856000种。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-9-21 15:26 编辑 ]

hubo5563

原帖由 sathuwang 于 2010-9-23 05:44 发表
各位魔友：
经高人指点，对三阶魔方变化总数公式修正如下，如其他人还有什么看法，欢迎跟帖。
公式：
113169
3的（8-1）次方表示，三阶魔方角的换色情况。因为每个角都无法单独换色，所以是（8-1）次方；
2的（ ...

这个就是原来的值。说明原来的计算没有错。