论三阶魔方总变化数

sathuwang

你的运算结果不对吧？

乌木

20楼说：


怎么理解这个式子呢？能解释解释吗？
（8－1）！，是否固定一个角块，其余7个角块的位置变化数就是（8－1）！；
（12－1）！，是否固定一个棱块？
那么，一个角块和一个棱块固定后，中心块还固定否？

若中心块仍固定，那么，此处被固定的角块和棱块，在别的状态中相对于中心块而言处于别的位置时，那些态就不计入啦？还有，此处被固定的角块和棱块，在别的状态中，它俩的相对位置有了变化，得到的新态也不计吗？如果我问的两种情况都不计，这不是成了一种捆绑魔方了吗？你是探讨什么魔方呀？

若中心块不再固定，那么，虽然六个中心块的相对位置永远不变，可以当作一个块看待，但是这样的中心块组件相对于固定的一个角块和固定的一个棱块而言，总还可以有位置变化吧？你的算式中怎么不计入中心块相对于固定角块、固定棱块的位置变化呢？

如果你并未固定哪个角块，也未固定哪个棱块，仍然只是固定中心块，那么，哪来的（8－1）！？不让别的角块进入的一个角位上的角块和中心块用502胶水粘牢啦？哪来的（12－1）！？又是一个棱块粘牢啦？

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-9-22 14:15 编辑 ]

乌木

你说什么“网上流传的公式，没有考虑每2个角块（棱块）互换可以连带2个棱块（角块）的互换”，你错了，（8！×12！）这一数不仅包括“每2个角块（棱块）互换可以连带2个棱块（角块）的互换”，并且包括所有随机组装的位置情况，然后校正为正确魔方的可转出的总态数（8！×12！）/2 。

至于(3^8)/3 和(2^12)/2 何错之有？任一组装态的最后一个角块三种色向对一错两，正确的角块色向数不是占1/3 又是多少？任一组装态的最后一个棱块色向对一错一，不除以2，又该如何计算？

你开发新算法这件事本身没错，但不能因为结果不一致就否定别人的结果呀！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-9-22 17:48 编辑 ]

机器贝尔

乌木老师真牛啊，这才是高水准的回复啊。


根据他的角块每两个不能单独互换，我觉得应该是8-2。

[ 本帖最后由 机器贝尔 于 2010-9-22 17:32 编辑 ]

乌木

原帖由 机器贝尔 于 2010-9-22 17:30 发表
根据他的角块每两个不能单独互换，我觉得应该是8-2。

你是说角块的转出态总数为（8－2）！吗？不对。

“角块每两个不能单独互换”，这是指一个正确三阶魔方用转魔方的方法不可能单单交换两个角块，而随机组装角块时，则任何位置态都有可能，共有8！个组装态。相对于复原态而言，8！/2个是奇态（由奇数次二交换得到的位置态），8！/2个是偶态。
对于棱块，则12！/2个奇态，12！/2个偶态。
奇态角块组合奇态棱块，得到的转出态数为（8！/2）×（12！/2）（这里，既然组合双方都是奇态，角块和棱块都查看一下并合计之，当然不可能有单单一个二交换情况），
偶态角块组合偶态棱块，得到另一半转出态数（8！/2）×（12！/2）（这里更没有单单一个二交换的容身之处了），
两类转出态数之和为（8！/2）×（12！/2） ＋ （8！/2）×（12！/2）＝8！×12！/2 。

被排除的8！×12！/2个组装态，就都是错装态了，其中不乏单单一个二交换之类的位置不可复原态！

总之，引入（8－1）！或（8－2）！之类的因子，令人费解啊！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-9-22 20:30 编辑 ]

sathuwang

乌木高手，你不用花费那么多文字，请把你的算式放上去，或者把原公式推导一下给我看看即可。
谢谢你的关注！

乌木

原帖由 sathuwang 于 2010-9-22 20:46 发表
你不用花费那么多文字，请把你的算式放上去，或者把原公式推导一下给我看看即可。

正是，正是。

三阶纯色魔方中心块不拆不变不动，拆下角块和棱块，再随机组装，相对于中心块而言的、仅仅角块和棱块位置的变化总数为  8！×12！ ；
除了位置变化，角块和棱块还有色向变化。所以，计算组装的总态数时，8!×12！还要乘以3⁸和2¹²，即 8!×12！×3⁸ ×2¹² ，这是组装数，即1楼原式的分子部分。

现在要用转一个正确魔方的方法改变魔方状态并统计总态数，中心块仍不动，只需把上面获得的组装数修正一下即可：
×1/2－－排除组装态数中单单一个二交换（无论角块还是棱块）之类的位置错装态，得到位置正确态，两者各占一半，故除以2即可；
×1/3－－组装态的最后一个角块有三个色向，一对两错，即一个色向是转得出的，另两个色向是装得出但转不出，故除以3即得角块色向转出态数；
×1/2－－类似于处理角块色向的办法，除以2得到棱块色向转出态数。

三个修正因子就是1楼原式的分母部分。

不知我写清楚了没有？

乌木

一个正确三阶魔方，用转魔方的方法，不可能单单交换两个块，无论角块还是棱块。
角块和棱块要合计查看的，分开查看的话，角块完全可以有一个二交换，棱块也完全可以有一个二交换，但必须两者同时出现于同一魔方态之中才是正确态。不少PLL公式就是很好的例子，角块一个二交换同时棱块也一个二交换，非常正常。
不可能的只是，角块有一个或奇数个二交换，棱块没有或有偶数个二交换，总计就是奇数个二交换。这就不可复原了。或者角块情况和棱块情况反过来，也不正确。

更确切的说法是，角块有奇数个位置偶循环，就是奇态；有偶数个位置偶循环，就是偶态。奇循环及其数目对态性无关。
棱块也是这样。
所谓位置偶循环就是偶数个块构成一个位置循环。

所谓“不可能单单交换两个块”实质是指，正确的状态不可能是奇态角块配偶态棱块，或奇态棱块配偶态角块，否则就是错装态，不可复原了。
而错装态和正确态两者数量相等，所以上面8！×12！/2 就是体现“不可能单单交换两个块”这句话。所以，另外引进（8－1）！，P₈²，等东西该如何解释呢？

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-9-22 23:07 编辑 ]

sathuwang

各位魔友：
经高人指点，对三阶魔方变化总数公式修正如下，如其他人还有什么看法，欢迎跟帖。
公式：

3的（8-1）次方表示，三阶魔方角的换色情况。因为每个角都无法单独换色，所以是（8-1）次方；
2的（12-1）次方表示，三阶魔方棱的换色情况。因为每个棱都无法单独换色，所以是（12-1）次方；
（8-1）！是因为三阶魔方每两个角无法单独更换的情况；
（12-1）！是因为三阶魔方每两个棱无法单独更换的情况；
8/2表示，全部三阶魔方的棱都能互换时，那么，将有一半的角不能参与交换；
12/2表示，全部三阶魔方的角都能互换时，那么，将有一半的棱不能参与交换。

乌木

这样，虽然没有错，但思路怪。
比如第二式，可以这样来看你的思路：固定一个角块，其余7角的位置变化数为（8－1）！，再固定第二角，其余7角位置变化数为（8－1）！，依次固定第三、第四……第八个角，每次得到其余7角的位置变化数都是（8－1）！，8次共有8×（8－1）！个位置变化数。
（何不直截了当地：8个角块的位置变化数为8！）
得到8×（8－1）！之后，再分析棱块，你的思路是：类似刚才角块位置变化数的算法，但是，由于8×（8－1）！包含了角块的全部变化态 ，所以棱块的12×（12－1）！个态只有一半可以转出来，即（12/2）×（12－1）！ 。
（同样，何不直截了当地：12！/2）