论三阶魔方总变化数

znf2

我一直以为流传这个是不对的,我估计是由于没有考虑楼主的这些CASE
不过由于我不求甚解,一直也没怎么考虑.

楼主提出来了,还是请相关人士(精通数学/魔方)求证一下.

superacid

首先，原来公式一定是对的，这个先不说。
LZ的算式中，P(8,2)*P(12,2)是不能简单地加在7!和11!后面的，因为它是角块(或棱块)是偶排列的前提下的情况。
还有，角块(或棱块)色向在确定了前7(或11)个以后，最后一个唯一确定，且角块棱块互不干扰，所以对于色向的计算只需3^7*2^11即可。在计算时要注意位置和色向是没有任何联系的。
根据LZ的思想可以如下列式(色向就是3^7*2^11：
考虑位置：如果角块，棱块都是偶排列，那么有7!*11!种；
如果都是奇排列，角块可以看做是在前6个确定的情况下，后两个与上一种情况恰好相反，棱块也是，所以也有7!^11!种。
然后总情况有2*7!*11!*3^7*2^11=4.3*10^19种

abandon

遗憾地说：广为流传的公式是对的……魔方的状态，是以固定的6面中心为参照物的，所以角位置当然是8！种，棱位置是12！种，除以2是说不能单独交换两角、也不能单独交换两棱，但同时交换是可以的（参见PLL即可），另外色向规律也类似，所以建议楼主仔细研究一下再下结论吧~

铯_猪哥恐鸣

鼓励楼主质疑权威，但是似乎楼主的计算方法还有偏差

sokoban

称这个公式是“网上广为流传”我怎么总觉得有点别扭。

魔方已经出现30多年了。这个公式在网上广泛流传之前，事实上也已经在各种出版物上广泛流传过。

sathuwang

13# 说的似乎有道理，可是运算结果好象不对吧？我再考虑一下。

sathuwang

7# 说的对！谢谢！

hubo5563

可以这么考虑，我们把魔方架子看成是具有12个楞块位置和8个角块位置的容器，棱块和角块看作是物体，需要往里面摆放，这个显然满足乘法法则。先摆放棱块，后摆放角块，棱块位置共12个，那么第一块就有12种位置，选定位置后，第一块可以正向放，也可以反向放，因此有2×12种方法，放好第一块，第二块可放位置，除不能放到第一块位置外，哪里都可以放。因此考虑放到位置和方向，就有11×2种，以此往下推，第11块可以有两个位置，考虑方向共有2×2种，当放完第11块后，第12块位置和方向也就确定了。因此棱块共有12！×（2的11次方）种摆放方法。角块摆放时，第一块有8个位置，有3个方向，有8×3种摆放方法，第二块除第一块位置外，那里都可以摆放，有7种位置三个方向共有7×3种，以此类推，第7块有2个位置，3个方向，但是位置摆放不自由了，受到棱块的制约，也就是说，角块第7块只有一个位置，但方向没限制有3种，因此第7块具有3种方法，把第7个角块摆好后，第八块的位置和方向都确定了，只有1种方法。这样角块摆放有8！除以2乘3的7次方，因此魔方状态共有12！×8！×（2的10次方）×（3的7次方）=43252003274489856000种，因此原来给出的结果没错。
     也可以先摆放角块，第一个角块8个位置3种方向有8×3种摆放方式，第二个有7×3种摆放方法，以此类推，第7个有2种位置，3个方向有2×3种摆放方法，放好第七块后，第八块位置和方向都已经确定，所以角块共有8！×（3的7次方）种摆放方法。然后摆放棱块，第一个有12×2种摆放方法，第二块有11×2块摆放方法，以此类推，第10块有3×2种摆放方法，第11块摆放位置受角块制约，只能1种位置，2种方向，就2种摆放方法，第12块方向位置都以确定，因此棱块共（12！÷2）×（2的11次方）种方法，因此总魔方有8！×（3的7次方）×（12！÷2）×（2的11次方）=43252003274489856000种，因此原来给出的结果没错。
    楼主说的：
1、每2个角块无法单独互换；
2、每2个棱块无法单独互换；
3、每1个角块无法单独换色；
4、每1个棱块无法单独换色。
缺一条，两个角块和两个棱块可同时交换。
   魔方连同错误状态总状态有12！×（2的12次方）×8！×（3的8次方）种，由于最后的一个角块无法单独换色，所以需要除以3，由于棱块最后一个不能单独换色所以需要再除以2，又由于棱块和角块无法单独换位置所以需要除以4，但两个角块和两个棱块可同时交换，需要乘以2，最终还是12！×（2的12次方）×8！×（3的8次方）除以12=43252003274489856000种。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-9-21 15:26 编辑 ]

乌木

三阶魔方的基本运动方式是表层90°转，也就是那四个角块总是来个四轮换，同时那四个棱块总是来个四轮换。任何四轮换可以独立转换为一个二交换，所以，表层90°一转，可以转换为角块一个二交换并棱块一个二交换，接下去想要单单复原那两个角块，不行；单单复原那两个棱块，也不行。只能角块和棱块同时都二交换。
可见，“不能单单交换两个块”这一魔方规律之一的根源还是魔方基本动作的上述顽固性质。

随机组装的位置变化总数 8！×12！要修正为转得出的位置态总数的话，是否可以简捷地除以2？

答案是肯定的。8！个角块位置态之中，一半是奇态（即由奇数次二交换得到的态），另一半是偶态（即由偶数次二交换得到的态）。12！个棱块位置态之中，也是一半奇态，一半偶态。任何一个正确三阶魔方的转出态只能由奇态角块组合奇态棱块，以及偶态角块组合偶态棱块。奇偶组合或者偶奇组合都是转不出态。好，这么一来，转得出的位置态总数岂不是 8！×12！/ 2 吗？即：
                       (8!/2)*(12!/2) + (8!/2)*(12!/2) =  8!*12!/2


至于为什么角块和棱块的奇偶组合或者偶奇组合都是转不出态，我就说不好了，哪位说说吧。我只是感觉这也是上述基本动作表层90°旋转的特点决定的，每一转，总是角块和棱块同时切换状态的奇偶性，怎么可能出现奇态角块组合偶态棱块或反过来呢？

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-9-22 12:34 编辑 ]

sathuwang