求解:12轴魔中魔加强版(超级五魔方)的组合数

DavidGuo

用代数上的Burnside's Lemma加上Polya Formula做以下的计算：

正12面体转法有12*5=60种，下面一一对每一类做计算。
1. 全部不动：1种，2^12=4096
2. 以相对面为中心(有6组)：转动72度、144度、216度288度共四种：6*4*2^4=384
3. 以相对棱为中心(有15组)：转动180度：15*2^6=960
4. 以相对角为中心(有10组)：转动120度、240度共二种：10*2*2^4=320
跟据Burnsids's Lemma，所有的情况有(4096+384+960+320)/60=5760/60=96种

而跟据大烟头对Crazy 3x3的计算，本来应该有10种，扣掉全为0及全为1的情况，应该是94种。

再进一步计算，其Pattern Inventory为(x1^12+x1^2*x5^2*24+15*x2^6+20*x3^4)/60，
以a当作0面，以b当作1面，代入上式，得
((a+b)^12+(a+b)^2*(a^5+b^5)^2*24+15*(a^2+b^2)^6+20*(a^3+b^3)^4)/60
=a^12+b*a^11+3*b^2*a^10+5*b^3*a^9+12*b^4*a^8+14*b^5*a^7+24*b^6*a^6+14*b^7*a^5+12*b^8*a^4+5*b^9*a^3+3*b^10*a^2+b^11*a+b^12

也就是
全为0面的情况有1种
1个0面的情况有1种
2个0面的情况有3种
3个0面的情况有5种
4个0面的情况有12种
5个0面的情况有14种
6个0面的情况有24种
7个0面的情况有14种
8个0面的情况有12种
9个0面的情况有5种
10个0面的情况有3种
11个0面的情况有1种
全为1面的情况有1种

[ 本帖最后由 DavidGuo 于 2010-7-20 13:03 编辑 ]