对循环变换理论的思考备忘录

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    欢迎大家 探索研究、丰富完善《魔方循环变换理论》。
  
    下面就楼主的问题作一下简要说明：
  
    1、需要多少个公式可以覆盖三阶魔方的所有状态？
  
    有待探索，可以预计数量“巨大”。编程搜索所有 正六面体三阶魔方 的
  
循环变换 是 不现实 和 不必要 的。 如果要编程对 正六面体三阶魔方 开解，
  
也只需研究 最大长度一半以内 的所有 循环变换 即可。
  
    2、通过这些公式所得的路径是否最短？
  
    依据魔方 循环变换 的定义，答案是肯定的。
  
    3、是否阶数越高的公式覆盖的状态越多？
  
    答案是否定的。 应该可以构造出阶数为 1 的 遍历公式，它将覆盖所有
  
正六面体三阶魔方 状态。
  
    4、已有证明，最高的阶是1260，如U F2 B' L B' ，
需要重复1260次可回到起点。这样高阶的公式有何意义？
  
    这个与 最少步 没有关系吧？ 更何况 3 、4 两问题 并非是 循环变换
  
的问题。  循环变换 的阶都为 1。
  
　　
　　

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　　好像有人误把 循环公式 当成 循环变换 了。先普及一下魔方 循环变换
  
的定义吧：
  
    一、先给出几个记号：
  
    在本理论中，统一规定：
   
    小写字母表示步长为 1 的变换；
  
    大写字母表示由步长为 1 的变换构成的变换。
  
    对于变换 A ，若它的积为单位元，则记为： A = 1 ；
  
    对于变换 A ，
  
length(A) 表示变换 A 的长度;
   
half(A) 表示 length(A) 的一半并取整;
  
    例如:  A = a1 a2 a3 a4 a5 a6 ；
  
length(A) = 6 ， half(A) = 3 。
  
    又如: A = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11；
  
length(A) = 11 ， half(A) = 5 。
  
  
  
    对于变换 A ，circle0(A) 表示变换 A 的首尾相连的旋转变换，旋转方向
  
继承变换 A 的方向；
  
    注意：变换 circle0(A) 是没有首尾的，但却是有方向的。
  
    如：circle0(a1 a2 a3) 与 circle0(a3 a2 a1) 是反方向。
  
    any(A,n) 表示变换 A 的任意一个相连的长度为 n 的子变换；
   
  
  
    二、魔方循环变换的定义：
  
    对于有效变换 A ，如果 A = 1 ，并且 any(circle0(A),half(A))
  
都是最少步变换，则称变换 A 为循环变换。记作：循环变换 A 或 circle(A)
  
　　　　
　　　　

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　　举例：
  
    １、正六面体三阶魔方 的一个 循环变换 ：
  
    A = F' L' F R F' L F L U L' U' R' U L U' L'
  

  
  

  
它的所有 半子变换 any(circle0(A),half(A)) 全都是最少步变换。
  
    比如 F' L' F R F' L F L  、 L' F R F' L F L U 、F R F' L F L U L'
  
等等 全都是 最少步变换。
  
    这里所有 半子变换 any(circle0(A),half(A)) 都是最少步变换 最重要。
  
　　
　　
    ２、二阶平面魔方 的一个 循环变换 ：
  　
为了使大家更好地理解 魔方的最远状态（或 任意状态） 与 循环变换 的 关系，
我在这里用 二阶平面魔方的最远状态（二阶平面魔方 只有一个最远状态） 做说明：
注：因为 二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家好理解，其它魔方同理。
1.找到一个 循环变换（很难找的，对于 二阶平面魔方 当然容易了）；


比如 二阶平面魔方 的一个 最长的 循环变换（由两个 最长变换 构成 ）：
L R U D R L D U
2.由于 一个 循环变换 的 “逆变换”也是 循环变换，故 得到 L R U D R L D U
“逆变换” U D L R D U R L 也是一个 循环变换。
（请大家注意，对于其他魔方来说 L R U D R L D U “逆”为 -U -D -L -R -D -U -R -L ，
对于 二阶平面魔方 才有 -U -D -L -R -D -U -R -L = U D L R D U R L ，因为它
有长度为 2 的循环变换：比如 U U 。 这一点对其他魔方 不适用的）


3.由 循环变换 L R U D R L D U 得到 以下八个 半子变换 都是 最远状态：
L R U D
R U D R
U D R L
D R L D
R L D U
L D U L
D U L R
U L R U
4.由 循环变换 U D L R D U R L 得到 以下八个 半子变换 都是 最远状态：
U D L R
D L R D
L R D U
R D U R
D U R L
U R L U
R L U D
L U D L

5.二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家可以试试。其他魔方可就复杂多了！
以上 十六 个 半子变换（全是最少步变换） 都指向 同一个 最远状态。





　　
　　
　　
　　　　
　　
  　

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    非常高兴地看到有这么多魔友参与 循环变换、循环公式 等 循环理论 的
  
探讨。循环变换理论 还处在起步阶段，很多 关键性的基础问题 还没有搞明白，
  
希望大家积极参与探索探究。 先从 最初级、最基本 的东西开始吧，比如：
  
  
    征集各类小巧魔方态态关系网
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=30653
  
   
    正 N 点 M 连循环变换球面网探究
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=34872
　　
　　
　　
　　

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原帖由 Cielo 于 2010-3-30 10:23 发表
  
  这种方式产生的“新的公式”都是和原公式共轭的，
即公式 AB，把头 A 接在 尾 B 上，得到的 BA = A'（AB）A.
所以它覆盖的状态必然只是很少一部分。

可以这么看，设 AB 的周期是 n，则 BA 的周期也是 n，所以所有周期不是 n 的状态都无法被覆盖。

　　
　　
　　
　　

原帖由 aubell 于 2010-3-30 10:34 发表
  
感觉关键的地方是：
公式生成的方式
截头接于尾。

不必拘泥于等于A=I 。
用“截头接于尾”的方式生产的状态集具有“相似性”。
等于 I 的公式通过这种方式生成的公式具有“相等性”。
  

　　
  
    不错，两位都探讨了 循环公式 的内容，它们都是相似变换（共轭），除
  
有“相同的阶”外，很多都不是最少步，不太适合 计算机 搜索。
  
  
    循环变换 与之不同，它的 半子变换 的 阶 不同，且都是 最少步变换，
  
效率很高，非常适合 计算机 搜索。 这是 循环变换理论 的 核心价值 所在。
  
   
    当然，循环变换、循环公式 都是 循环理论 研究的问题，它们的侧重点
  
有所不同，各有所长，可以互补对方不足。 我在这里只是强调 循环变换 的

“核心地位”，希望大家不要忽视 这“核心地位”之关键 而已。
  
　　
　　
　　
　　
　　

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    能够“利用计算机找出所有循环变换”的魔方，也是极少数的“小魔方”。
  
绝大多数魔方的“循环变换”数量比较大，编程搜索 正六面体三阶魔方 所有
  
循环变换 是 不现实 和 不必要 的。 如果要编程对 正六面体三阶魔方 开解，
  
也只需研究 最大长度一半以内 的所有 循环变换 即可。
  
     
    欢迎大家积极参与探索研究《魔方循环变换理论》，使之为广大魔友服务。
  
先从 最初级、最基本的东西开始吧，比如 15 楼所说的。
  
　　
　　
　　
　　

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原帖由 superflip 于 2010-4-5 15:53 发表
  
ggglgq版主回下19# 的问题行吗？ 非常好奇答案，因为这条路与现有的思路不同，想了解下难度和目前的进展~

　　
　　
  
    由于单位和家中配置了新电脑，以前 VB6 的魔方求解程序难以在新系统中
  
调试运行，因此本人暂缓此次 循环变换 在正六面体二阶魔方的探究，希望各位
  
魔友理解并见谅。    请各位魔友继续研究 循环变换 的其他问题吧。