【解集】共点三射线三等分正方形

migl

已知：
如图，正方形ABCD的边长为1，正方形的中心点O位于坐标系原点，三条射线PE、PF和PG互成120度。
又射线PE、PF和PG将正方形ABCD分割成三份1、2和3。
三份的面积为S1、S2和S3。

求：
所有满足S1=S2=S3的点P的解集。

migl

注：
三条射线互成120度，但方向不是固定的，即三条射线可“以点P为中心”整体旋转。


目前只能凭空想像到两种类型的解，每种四个解，合计八个解。
不知道解集会是什么样的“图形”？

migl

稍稍计算一下：（ 希望没算错 ）
类型1：
(1/2)*a+(1/2)*(1/2)*(1/(2(√3))) = 1/3
a = (2/3)-(1/4)*tg30° ≈ 0.522329
类型2 ：
(1/2)*a*a+(1/2)*a*a*tg15° = (1/2)*(1/3)
a*a = (1/3)/(1+tg15°) ≈ 0.262892
a ≈ 0.512730

取八个点中的三个
(0,0.022329)
(0.012730,0.012730)
(0.022329,0)
得到部分示意图：


介于直线与圆之间，尚无法推测出具体“图形”。
不知道 是直接计算能三等分面积的点P方便，还是计算不能三等分面积的点P方便？

[ 本帖最后由 migl 于 2010-3-23 16:59 编辑 ]

migl

原帖由 陆飞 于 2010-3-23 17:03 发表
想问楼主，这是现在高中题吗？

觉得有能力的都可以来尝试，欢迎各种解法。
也许用高中的思路就能解题了。


不过话说回来，光是计算某给定的点P是否有符合题意的射线角度就已经是很大的工作量了。

migl

原点考虑15度足矣。非原点应该是考虑60度的吧。

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原点考虑旋转15度足矣。非原点应该是考虑旋转60度的吧。

[ 本帖最后由 migl 于 2010-4-1 15:19 编辑 ]