四阶最大公式循环周期又是多少？

乌木

心块24个，棱块也是24个。为了重复周期最大，心块追求一个11元循环和一个13元循环；棱块应该也可以吧？只要棱块和心块的循环方式不撞车即可（以免最后计算式反而只取一个（比如）11×13）。是否也可以把（11元循环＋13元循环）的方式指配给棱块，而把（7元循环＋17元循环）的方式指配给心块？即：
“角位置：3x5
角方向：3
心位置：7x17
棱位置：11x13”
这样，结果是一样的。对吧？

乌木

全色四阶公式的重复周期的算法我也不全清楚，这里只能尽量给你解释一下6楼的算法。

“角位置：3x5
角方向：3
棱位置：7x17
心位置：11x13
周期：3²x5x7x11x13x17=765765”

假定有个公式G，做一遍后，角块生成一个3元环（3个块的位置循环）和一个5元环，这两个循环内部的色向和都不是3的倍数，那么，做3×3遍G后，那3元环（位置和色向都）复原；G做3×5遍后，那5元环复原。综合起来，G只要做9和15的最小公倍数3×3×5遍，8个角块（位置和色向）就都复原了。

做一遍G后，24个棱块生成一个7元环和一个17元环，那么，G做7×17遍后，棱块复原。（四阶的棱块不能就地翻色，故循环内部谈不上色向和的问题，无须考虑乘以不乘以2。）

做一遍G后，24个心块生成一个11元环和一个13元环，那么，G做11×13遍后，心块复原。（和三阶的中心块不同，四阶心块不能就地自转，故做公式的遍数谈不上要满足4的整数倍。）

（注：纯色四阶时四个一样的心块之间的位置变化看不出，心块成环的情况难以查看。全色四阶棱块和心块都个个有区别，所以可以追究成环情况。
还有，上述循环的搭配方式是考虑让最后需要做G的遍数达到最大值而精心求得的－－如何求法我还不清楚（所以我一直不敢做本帖题目，现在也只能勉强解释解释别人的计算），目前只会解释到这样。）

所以，要角块、棱块和心块都复原，G就得做3²x5x7x11x13x17=765765遍，即上述各有关遍数的最小公倍数。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-2-12 11:15 编辑 ]

乌木

满足G做一遍后的上述循环状态还是可以画出来的，且不止一种态。至于具体的G，也不止一种。如果一时找不出像样的G，哪怕取复原步骤的逆步骤当作G也是一解。

我还未想明白的问题是，如果我在一个实物魔方上用广义复原法弄出了上述状态，或者我在纸上画出了那状态，但是交稿前故意让魔方整体改变一下取向后重新画出，那么，由于那状态个个块都挪动了位置，整个魔方找不到一个未曾变化的参照物，您拿到东西后，不知道它是从复原态的哪个取向出发作G的，将如何查看其成环情况？如果可以设法（比如选一个角块为参照）查看，那么结论一样否？即是否也可以得到“765765遍”？

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-2-12 11:13 编辑 ]

乌木

举个例子。下图中数字不表示贴牢在块上的标记，仅表示块的编号。做过一遍公式G后，图中块上的数字仍是编号，不是移动位置后的标记取向。我把初态重排得到：角块一个3元环和一个5元环；棱块一个7元环和一个17元环；心块一个11元环和一个13元环。这时魔方尚未整体运动。再故意让魔方整体改向，重画得到第二图，相当于把一个看上去乱乱的魔方交给你，但不保持整个魔方的原来取向，也不告诉你魔方做过什么样的整体运动。

你看看，得到这个状态的公式G的重复周期是否765765 / 3？（除以3是因为此处略去了角块的色向复原问题。）


[ 本帖最后由 乌木 于 2010-2-12 15:06 编辑 ]

乌木

对这个找不到参照物的问题，我12楼说过“比如选一个角块为参照”，想想也有问题：这个被选为参照的角块当然是不动的咯，它当然就不参与循环的咯，这样还能有“一个3元环和一个5元环”吗？G的周期还会是765765吗？

或许本帖题目的意义不在于拿到一个打乱的四阶去理出其成环情况，再去追索有关公式的周期，这种倒过来的事情不一定都能实现的。看来，本帖题目的意义还是pengw说的“检验你对扰动方程的理解和应用能力”。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-2-12 16:18 编辑 ]

乌木

原帖由 pengw 于 2010-2-16 09:25 发表
乌本基本上是"引用"已有的描述方法,我提一个问,你给出的状态属于哪一个扰动关系?是否偿试过其它扰动关系下的状态?

是的，我其实是帮我自己解读你们的帖子。上面我画的状态图只是具体给出一个符合Cielo在6楼说的状态，不过我给出之前，故意让魔方整体运动了。我是想说明另一问题－－四阶的参照物不确定的话，状态性质不易判断。当然，这问题跑题了。

我只是就Cielo在6楼给出的状态说说，至于另外三种扰动关系，就本帖题目而言，似乎不必提及了，因为你早已计算过，都不如第一种扰动关系时的公式周期值大。

乌木

重复周期是1980遍的公式不止一个，所以分别做一遍这类公式后的状态有许多。即使同一状态，反过来相应的公式也不止一个。
可以举个例子，它在纯色三阶上的重复周期是990，因为纯色魔方的中心块的方向性是隐性的。
这公式在全色三阶上，做一遍后中心块的自转方向有变；做990遍后，显然中心块方向未复原，因为990不是4的倍数，所以，要做990×2＝1980遍，中心块就也都复原了。
这类公式之一例：F' R' F D' U' F' L' D2 L' B L B2 R' D2 F' 。
手工验证不现实，可以交给软件验证－－就用java动画演示好了，看看是不是990遍复原为初态，并且很容易验证小于990的遍数都不复初。
说明，这1980的前提是，参照物－－中心块组不动，否则，不止1980。

此外，要证明此事不必知道具体公式，也不必知道有关公式做一遍后的具体状态，只要根据魔方变换规律，找出这类状态的有关性质，即可计算这类状态相关的公式的重复周期。
任何公式都有其重复周期，有大有小，pengw是求各种周期之最大值，并非求是什么样的具体公式。

你可以自己做一个满足要求的状态，再用软件求解，其逆步骤就是你要的公式。

当然，以上这些话对本帖而言有点跑题了。四阶公式重复周期的最大值问题也是如此，无须给出具体公式，但要给出相应的状态性质。例如6楼说的，角块有一个3元环和一个5元环，环内色向和都是非零；棱块有一个7元环和一个17元环；心块有一个11元环和一个13元环。满足这些条件的状态（当然不止一个），其相应的公式的重复周期就是极大值765765遍。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-2-16 16:19 编辑 ]