开关与亮灯问题（已解答）

lulijie

A、B、C、D、E五个开关都是触摸式开关（即只要被按过，就一直保持开通状态），初始五个开关都处于断开状态。
现在每次随机按一个开关，求平均按多少次（期望值）开关，灯会亮？    （任一开关被选择的概率都相等）
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对于一般情况(n+m)：
答案见26楼       （递推公式见21楼）
化简答案见28楼
对公式的解释见29楼
基本知识见贴【囚徒放风问题系列之二】
   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=42245&;extra=page%3D1

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-11 21:58 编辑 ]

lulijie

14楼的答案是正确的。
用电脑模拟按开关过程一百万次，求得的平均次数是
    5.25128100000008
当然可以直接计算出准确的值。
14楼tm_xk 最好能写出计算过程，这样大家可以交流解题思路和技巧，从中找出最简便的方法，对大家都有益处。
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发帖的目的不是考大家，难为谁，不是比谁厉害，而是通过交流，学到好的解题方法，启迪思维，从中获得益处。

lulijie

本题属于3+2类型，记作f(3,2)=5.25
若为n+m，那么期望值f(n,m)又是如何呢？

lulijie

tm__xk ：能不能写出 f(n,m)的计算表达式，用含n、m的式子。
用递推公式来解，对于较小的n、m值，如本题f(3,2)，可以手动写出精确值，
  但n、m较大时，只能利用电脑来算了。
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本题另有一种巧妙的解法，直接就可写出答案，根本不需要电脑，大家不知能不能想到。
我可是前后想了4天4夜，快认为没着时突然冒出了新思路，有一种佛学中顿悟的味道。

lulijie

对了，通项公式很简洁，老兄找找看？
或者先解出一些结果，看看规律？

lulijie

老兄厉害，我花了4天4夜的时间，老兄就1个晚上就搞出来了。
上式可化简为
    (m+n)*[ sum(  '1/i-1/(n+i)'  ,  'i'=1..m ) ]
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如：f(3,2)=5*(1+1/2-1/4-1/5)=21/4
    f(5,3)=8*(1+1/2+1/3-1/6-1/7-1/8)

lulijie

还是就囚犯二来说吧
条件：    当所有的男囚徒都放过风或所有的女囚徒都放过风后就将大家全部释放。
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计算公式(m+n)*(sum('1/i','i'=1..m)+sum('1/i','i'=1..n)-sum('1/i','i'=1..m+n))
对该公式的解释是：
    所求的期望值=所有男囚犯都放过风的期望值+所有女囚犯都放过风的期望值-所有囚犯都放过风的期望值