【東方】求高人解答！魔方某一面可以存在多少状态？

乌木

是不是这样考虑：
约定中心块没有变化（否则结果再乘以4），再约定另外两层可以根据魔方变化规律自动调整得使整个魔方状态“合法”，以便配合F层的变化。
8个角块调动到四个位置上的位置变化数为8×7×6×5；每一位置上的角块可以有3种色向，共有3^4种色向变化数。故F面角块状态数为8×7×6×5×3^4。
同理得到F面棱块状态数为12×11×10×9×2^4。
所以F面的状态数为（8×7×6×5×3^4）×（12×11×10×9×2^4）≈2.59×10¹⁰ 。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-27 20:12 编辑 ]

乌木

包括且不止的吧？PLL的大前提是下两层已经复原，顶面已经同色。现在你的条件并无这个制约。反过来理解：比如，三阶魔方复原态，底层交换两个棱块，顶面可以（例如）也交换两个棱块，好，PLL中无法单单交换两个棱块的。也没有同时交换顶底各有两个棱块的PLL公式。如果转换一下再用PLL式，则是另一回事了－－顶面的原状也变了，且本题并非要复原什么的，只是问状态数。
在你的题目中，F面完全可以有单单两个棱块交换一下的情况，反正别处自动会有（例如）两个棱块也交换就是了（因为不是拆了重装，而是转魔方的方法改变状态）。至于这个F面无法用PLL，对统计状态数又有何干？
比如下例的F层在“F层的PLL”中是没有的，并不妨碍它挤进F层的状态数统计。

  
  
  
  
  


上面我计算的某一层的状态数2.59×10¹⁰是指一层，如果问一个面的状态数，应该要少很多，例如上面这个java图的F面和复原态的F面，要合并为同一“面态”。至于一个打乱后的“花脸”，和它做了一下F，F'或F2之后的一共四种状态是否要合并，恐怕只需事先说明一下即可。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-28 14:08 编辑 ]

乌木

这一层的状态数（8×7×6×5）×3^4×（12×11×10×9）×2^4 其实就是三阶纯色魔方总态数的一部分－－每个“层态”后面的两层，都有一大帮子不同的角块、棱块状态：
4个角块在4个角位的位置变化数为4！
8个棱块在8个棱位的位置变化数为8！
但是两者的乘积要考虑不存在单单交换两个块的限制，即（4！×8！）/ 2，才是“大墙后面”角块、棱块的位置变化数。
后两层的角块色向变化数和棱块色向变化数也要考虑不存在单单一个翻色的限制，即3^3×2^7 。
所以，后两层的变化数为 （4！×8！）×3^3×2^7 / 2 。
好，某一层的状态数乘以后两层的状态数应该就是魔方的总态数：
〔（8×7×6×5）×3^4×（12×11×10×9）×2^4 〕×〔（4！×8！）×3^3×2^7 / 2 〕
整理后，就是8！×3^7×12！×2^11 / 2 ≈ 4.3×10^19 。
这可以作为一种验算2.59×10^10 的方法吧？

乌木

看来，你俩说的是F面（不是F层）的变化数咯？
如果是这样的，那么，我上面说了，F面旋转后重复的“面态”是否合并，只需事先说明一下即可。

此外，此题至少给自己设计花样的人一个概念：单单看一个面的话，该面花样的可能数多达6^8＝1679616种，足够他挑选的了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-29 10:29 编辑 ]

乌木

原帖由 haohmaru 于 2009-9-29 16:49 发表
F层旋转后应该算一种的
毕竟F可以看成b'

用转魔方的方法，变换F面的“面态”，这“面态”是否有变，总要有个参照物才好说。最好仍用六个中心块为参照，只不过不管F层的四条侧边如何，只看F面相对于六个中心块如何，判断是否新花样而已。
其中，任一“F面态”分别转F、F'或F2所得到的共四个面态，要不要合并为一态，是否看工作需要而定？恐怕不能一概而论“应该算作一种的”吧？
一个魔方分别经动作F和动作b所得到的两个状态，相对于六个中心块而言，第二个必须再做CF，让参照物中心块状态统一之后，无疑，1图和3图是同态；但是相对于周围环境而言，两个态是什么样就什么样，谁也不得另加动作，哪怕整体运动也不可以，所以，1图和2图决非同态。也就是说，任一个魔方态，相对于周围环境而言，规整的的状态可以经过整体运动变换出24种不同的态。相当于用一个照相机，从六个方向给同一魔方态拍照，每一方向旋转着拍四张相片，还要约定每一相片拍到魔方的三个面，就像下面的图片那样。共得24张相片，各不一样。这24张相片相对于六个中心块而言，是同一态；相对于周围环境而言是24种态。

总之，楼主的题目蛮有意思，不过，是否得把有关条件再明确明确，或者，各位作答时要明确有关条件。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-29 18:45 编辑 ]