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用数学玩魔方：对易子，附Word文档 [复制链接]

Greenoracle

蓝魔

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电梯直达

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发表于 2009-9-25 23:27:40 |只看该作者 |倒序浏览

第十五节 Commutators 对易子

主要根据Joels的这篇文章整理：http://solvethecube.110mb.com/commutators.html。Word附件里面有图。帖子里就不上图了，太麻烦。

Pochmann的盲拧方法利用的是两对交换。（AB）（CD）。做相似变换，(AE)(AB)(CD)(AE)’ 实现交换(EB)(CD)。Macky的3OP就主要利用三轮换一次调整三个块。

这一节讲怎么利用commutator生成三轮换（ABC），进而可利用相似变换(AE)(ABC)(AE)’把这个特定的三轮换变成任意的三轮换（EBC）。还可以利用三轮换扭转一对方块。

首先说说为什么有对易子。任何一个简单的转动一次都会影响很多块，随便一个4，5步的公式都能造成转动的结果人脑难以计算。显然，如果有一种方法能够一次只影响少数几块，比如对调某几块，或者翻转某几块，通过它我们就能主观的控制魔方到我们想要的状态。比如PLL的做的就是这件事，它对调特定的角块楞块，或者循环特定的角块楞块，它的公式是经过优化的看起来没规律，而对易子则能很规律的实现这些。有了这个思路，最直接的想法莫过于能够一次对调两个块的位置，一次翻转一个快的方向。但很不幸是，这一点不能做到，其原因是魔方转动群生成元四个块的轮换，或者分解成最短的轮换也是四个贴片的轮换，这就决定了，如果想调换位置，最少能轮换三个块的位置而不能对调两个块；如果想调整朝向一次最少也得调整两个块的朝向。这些就是对易子能做到的。利用对易子基本上就能把魔方还原。所以说，想靠直觉或者推理把魔方玩出来的，应该学学对易子，它是一个很强大的数学手段。

假如我用一个对易子比如同时翻转了一对楞块AB，那么，我想翻转另一对楞块AC是不是又得找另一个对易子呢？当然可以找到，但每种情况都找一个对易子显然很低效。这时就可以利用相似变换，先把C调到B的位置，再用前面那个对易子，操作完了在做一次这个相似变换的逆变换，就实现了翻转AC。

对易子+相似变换，不用记公式，让你在玩魔方过程中体会到逻辑思维的美妙。

1. 对易子的定义

如果P和Q是两个公式，那么P，Q的对易子就定义成PQP'Q'.或者记做[P,Q]。

用置换来看对易子。 For example:  P = (123456789), Q = (9 10 11 12 13 14 15 16 17)， In this case QP-1Q-1 = (123456789)(9 10 11 12 13 14 15 16 17)(987654321)(17 16 15 14 13 12 11 10 9)= (9 17 8)

一般来说，如果P，Q只有一个公共元素，那么[P,Q]对易子就生成一个三轮换。

P，Q有两个公共元素，他们的对易子是两个对换：P=(12345),Q=(45678)[P,Q]=(38)(45)

PQ有三个公共元素，他们对易子是两个对换：P=(123456),Q=(456789)[P,Q]=(39)(56)PQ有四个公共元素，他们的对易子仍是两个对换之积：P=(1234567),Q=(4567890)[P,Q]=(30)(67)

把魔方上面的块或者贴片编号，上面的这些推导就可以用在魔方上。假如P操作的结果是一些位置的置换，Q操作是另外一些位置的指环，PQ只有一个公共位置，那么[P，Q]就是一个三个块的轮换。假如PQ有两个以上公共位置，他们的对易子是两个对换的乘积。只是这种情形不好控制。所以我们下面主要利用对易子进行三轮换。

2.Basic Corner 3-Cycles （8 move）

2-a  F面上逆时针三轮换RFU->LFU->RFD

P = R'D'R and Q = U'R'D'R U' R'DR U 对易子是F Slice上逆时针三轮换，RFU->LFU->RFD，这三个块的三轮换，实际上是三个块上的贴片之间的3个三轮换。

2-b 三轮换P = ULU' and Q = R2，ULU' R2 UL'U' R2使下面三个角轮换：

2-c  F面上顺时针三轮换 RFU -> DFR - > DLF
P = RUR' ,Q = D,P-1 = RU'R',Q-1 = D'PQP-1Q-1 = RUR' D RU'R' D'RFU -> DFR - > DLF,三个角块轮换时，这三个角块上的三组个面也在做轮换。

注意，例子中P本质上都是RUR', RU2R' or RU'R'这样的操作。任何角三轮换总可以在12步以内完成，一般10步就可以。上面几个例子都是八步，实现三轮换。如果不考虑角的朝向，任何三个角都可以用上面前两种基本三轮换实现。假如考虑角块轮换后朝向也是正确的，有的三个角不能通过上面基本轮换做到，需要set-up，使它们可以应用基本三轮换。

3.Twist Two Corners

对易子可以用来同时扭转两个块的朝向。P = RU'R'URU'R' and Q = D. P 扭转逆时针D层上的RFD角，不改变D层上任何其他方块。[P,Q]扭转FDL，FDR两个角，一个顺时针一个反时针。假如想顺时针扭转RFD，逆时针扭转LDF用P’即可[P’,Q].如果取Q = D' or Q = D2，那么可以我们扭转底面上其他两个角。

还可以使用P = F' U2 F R U2 R'扭转RFD角,再取Q=D。注意这是8355方法里面扭转角块用到的方法。

4.Flip Two Edges

P = RE2R2ER and Q = U2. 可以用它翻转两个楞块。做个相似变换就可以翻转任意一对楞块。RE2R2ER - U2 - R'E'R2E2R' - U2

5. Edge 3-Cycles

P = MD'M' and Q = U. MD'M' - U - MDM' - U'

6. 同时扭转两个角两次

P = F'RD2R'F and Q = U2. P will swap the ULF and URB pieces, but it will also twist them.F'RD2R'F - U2 - F'RD2R'F - U2 则扭转它们两次。

7.交换同一个面上两对棱

P = F'R E2 R'F and Q = U2. 其中P交换两个棱UF，UR（第二个图）。F'R E2 R'F U2 F'R E2 R'F U2，交换U面上的四个棱。UF<->UR,UL<->UB.

8.同时交换一个面上两对角

P = RU'L D2 L'UR' and Q = U2. You can also try Q = U or Q = U'. 其中P交换LUB和RUB两个角。RU'L D2 L'UR' U2 RU'L D2 L'UR' U2，交换两对角LUB<->RUB, LUF<->RUF.

[ 本帖最后由 Greenoracle 于 2009-9-26 00:32 编辑 ]