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三阶纯色所有块不在原位的状态数是多少? [复制链接]

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魔方理论探索者 八年元老

发表于 2009-8-30 22:58:16 |显示全部楼层
三阶纯色所有块不在原位的状态数是多少?

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魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2009-8-31 15:15:19 |显示全部楼层
如果用你给出的n个块都不在原位的排列数公式(http://bbs.mf8-china.com/viewthread ... tra=page%3D1&page=2 的11楼)可以得到
8个角块都不在原位的排列数为14833;12个棱块都不在原位的排列数为176214841。(后者没算错吧?)
两者组合时不能直接相乘吧?即不能说本帖题目的答案为14833×176214841,对吗?
要扰动态角块搭配扰动态棱块,非扰动态角块搭配非扰动态棱块,对吗?如何知道14833之中有多少扰动态,176214841之中有多少扰动态呢?
既然所有角块都不在原位,所有棱块也都不在原位,魔方又没有变形、散架,角块和棱块各自只能是形成位置循环,而且在本题条件下没有不参加循环的角块和棱块。满足本题条件的循环有大有小,两个簇的循环数有多有少。如何找出奇数个偶循环的角块态,搭配找出的奇数个偶循环的棱块态;余下的角块态只能和余下的棱块态组合。两个乘积相加就是本题答案。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-31 17:43 编辑 ]

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魔方理论探索者 八年元老

发表于 2009-8-31 18:05:52 |显示全部楼层
乌木前辈看穿了问题关键所在,即不可能忽视N阶定律的存在。即然都不在原位,则所有块都在环中,到底那些排列是偶数个偶环,那些排列是奇数个偶环,如何计算,这就是问题的关键,希望看到一个算法。

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发表于 2009-8-31 18:07:31 |显示全部楼层
高手讨论帖就是牛…………魔方理论研究过 可惜我是文科……数学不好……

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魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2009-8-31 20:33:52 |显示全部楼层
数目少的话,还可以人工摸索,但后来数目太大,人工弄容易出错,还得哪位用电脑算。我的思路这样,供编程者参考。
以下涉及的数据参看http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1 的8楼xpboy的计算结果。
8个角块的位置变化数为8!=40320,其中一半是扰动态,另一半是非扰动态(对吧?),但8个角块都不在原位的数目14833就不见得是一半一半,何况它是个奇数。那就来个“倒轧账”试试--看看40320-14833=25487个态中有多少扰动态,多少非扰动态?
1、8角都在原位,1个态,非扰动。非扰动态累计1,扰动态累计0。
2、6角在原位,2角不在,1×28=28态,显然都是扰动态。非扰累计1,扰动累计28。
3、5在,3不在,2×56=112,显然都是非扰。非扰累计113,扰动累计28。
4、4在,4不在,9×70=630,人工不难排出:4!=24,其中9种为4个角块都不在原位的;9种之中,6种为各种4元环,扰动态,6×70=420;3种为各种两个二元环,非扰动,3×70=210。故非扰累计323,扰动累计448。
5、3在,5不在,44×56=2464。5!=120,已经不宜人工排摸了,从120个排列中挑出44个,再查看这44态各自的扰动非扰动,分别乘以56后,算扰动非扰动的累计数。
6、和7、查算2角在原位、6角不在原位和1角在原位、7角不在原位的情况,方法类推,但只能交电脑算了。
有了25487个态的扰动非扰动的统计数,又知道40320是一半一半扰动非扰动,就可以知道8个角块都不在原位的数目14833中扰动态数和非扰动态数了。
这样想可以吗?
如果没错,接下来,对数目更大的棱块的查算,方法应该一样吧?大概电脑不怕的吧?
这样,本帖答案可以算得了吧?
真是有点“无事忙”啊!

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红魔

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发表于 2009-9-1 00:25:33 |显示全部楼层
刚才尝试了下继续乌木老师的算法。。结果发现算的状态数不足。。不过积累了一些经验。。现在我试试直接计算的方法:
8=6+2=5+3=4+4=4+2+2=3+3+2=2+2+2+2
需要注意的是,上面出现的5,必定是5个角块进行大循环,而不能是一个三循环和一个二循环的组合。
8:7!=5040
6+2:C82*5!=3360
5+3:C83*4!*2!=2688
4+4:C84*3!*3!/2!=1260
4+2+2:C84*C42*3!/2!=1260
3+3+2:C83*C53*2!*2!/2!=1120
2+2+2+2:C82*C62*C42/4!=105
其中扰动态共5040+1260+1120=7420
非扰动态共3360+2688+1260+105=7413
原来死神还不想完结。。。。。

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红魔

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发表于 2009-9-1 00:28:53 |显示全部楼层
终于算对了。。第一次想补充乌木老师的间接法。。结果算错了。。不过感觉其实直接法更简单。。所以改直接法。。算着算着想明白错在哪里了。。我居然把三循环想成只有一种情况了。。事实上是有两种的。。这样很多地方少乘了2.。。。难怪结果算错。。。

然后继续直接法。。。算出来以后发现情况总数只9000多种。。。傻了。。。。看了半天终于发现了。。。8个角块大循环没有算。。。我倒。。。好在最后还是算对了。。今天白天要在学校干活。。。棱块状态只好晚上再算了。。
原来死神还不想完结。。。。。

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魔方理论探索者 八年元老

发表于 2009-9-1 08:58:22 |显示全部楼层
遵从N阶定律约束,从环类型搭配的角度去计算正是我的意思,且计算相对简单,但是,算法似乎还有问题

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 09:15 编辑 ]

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魔方理论探索者 八年元老

发表于 2009-9-1 09:13:16 |显示全部楼层
4+4:C84*3!*3!/2!=1260
4+2+2:C84*C42*3!/2!=1260
3+3+2:C83*C53*2!*2!/2!=1120
2+2+2+2:C82*C62*C42/4!=105

以上四式为什么要除2!或除外4!,以下二式为何无除式

6+2:C82*5!=3360
5+3:C83*4!*2!=2688


六个算式原理应该完全一样,即:选择构造环的块c(n,a),同样的块能构造多少同类型的环(a-1)!,除是基于何种考虑?如果仅仅只是争对二阶去消同态,至少乌木的计算值没有消同态,可能解释一下你的算法原理否。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 09:25 编辑 ]

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红魔

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发表于 2009-9-1 10:18:34 |显示全部楼层

回复 9# 的帖子

对于为何除以2!以及4!,我举一个简单的例子:

2个苹果分成两堆有几种分法?毫无疑问是一种。。可是如果运用排列组合,列出的式子却是C21*C11=2.。
这就是所谓的平均分堆问题,在这种需要分成相同数量的N堆的问题中,因为会出现重复情况,所以要将结果再除以N!

再以两个苹果的问题为例:假设两个苹果是A和B,那么运用排列组合之所以会得出2,是因为排列组合将第一堆A,第二堆B和第一堆B,第二堆A分成了两种情况。因此要将总情况数除以2(即2!)

不知忍大师能否明白我这粗陋的解释。。
原来死神还不想完结。。。。。

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