想计算一下打乱后角块在原位的概率问题

乌木

“三阶魔方打乱后，所有角块都不在原位的概率”，约定，中心块不变；一个角块原地的色向变化不计；角块的位置变化之中相当于单单交换两个角块的位置的状态也计入（因为还有棱块的位置变化可以配合这种状态使之可能）。
8个角块在8个位置上的变化数为8！ 。
一个角块不在原位的情况有7种，每一种都含有其余7个角块在7个位置上的位置变化数7！，总共为7×7！种。
两者之比为7×7！/ 8！＝7 / 8 。
8个角块应该同等，每个角块都有7 / 8的概率不在原位，它们都不在原位的概率是不是
（7 / 8）^ 8≈0.34 ，对吗？
我对这种概率问题很怕，上面的中间结果“7 / 8”含有许多别的角块在原位的情况，对吗？我却不考虑，可以吗？我这样只抓每个角块不在原位的概率，把它们看作一个个独立事件，让它们同时发生，求得约0.34，有问题吗？我实在没把握。大家指点为要。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-29 21:27 编辑 ]

乌木

我4楼仅仅试着算算“三阶魔方打乱后，所有角块都不在原位的概率”，且约定了三点，其中约定不计色向变化是因为此题只问“角块都不在原位…………”，如果要考虑色向变化数，也许算有关概率时色向变化数会抵消吧？
至于角块位置上的扰动问题，4楼我是推给棱块的位置去调节的，凡是角块有扰动，那就让棱块也扰动好了，反正此题只讲角块的位置变化问题。（有如PLL公式中，单看角块，不少公式是角块两交换来着，但是有棱块的两交换调节着，完全正常。）
你说“1。在原位的块可能有不同的组合，如二个在原位有28种组合”，这我就不熟悉了，暂时也不去管这些了，我想，偷懒一下，避开在原位的角块的组合不组合的问题，因为此题是问“所有角块都不在原位的概率”。不知4楼这样算对吗？（我吃不准的问题已在4楼问了。）

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-29 23:14 编辑 ]

乌木

“1个角块在原位的概率”是指“只有一个角块在原位的概率”吧？
仍约定参照中心块；角块的色向变化不计；允许单单两个角块交换位置性质的位置状态。
一角在位，其余7角的位置本来可以有7！种变化数；现在要扣除7！之中有的角块也在位的情况数，这涉及7块之中选1个、2个、3个……等等的组合数，我是搅不清了。还是看看7个角块都不在位的概率吧。
7个块中的某一个不在位的情况有6种，每一种都含有其余6个角块在6个位置上的位置变化数6！，总共为6×6！种。
7个块中的某一个不在位的概率就是6×6！/ 7！＝6 / 7 。
所以，7个块都不在位的概率为 （6 / 7）^ 7 。
这是8个角之中1个在位7个都不在位的概率；8个角分别单单一个在位的状态数之和的概率，是8个（6 / 7）^ 7 相加，不是相乘，因为这8种情况不是同时发生的，对吗？
所以，“只有一个角块在原位的概率”为 8×（6 / 7）^ 7 。
有问题了，概率大于1了，可以乘以8吗？
望行家指点。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-30 11:28 编辑 ]

乌木

7楼计算显然不对，试试重新算。

一个角块在位，其余7个角块中的某一个不在位的情况有6种，每一种都含有其余6个角块在6个位置上的位置变化数6！，总共为6×6！种。
7个块中的某一个不在位的概率就是6×6！/ 7！，
所以，7个块都不在位的概率为 （6×6！/ 7！）^ 7 ，
相应的7个块都不在位的数目为 （6×6！/ 7！）^ 7 ×7！。
一个在位的角块带上这么一大帮子，那么，8个分别在位的角块共有态数为
（6×6！/ 7！）^ 7 ×7！ ×8 ，
8个角块的所有变化数为8！，上述态数所占的分数为
（6×6！/ 7！）^ 7 ×7！ ×8  / 8！＝（6×6！/ 7！）^ 7＝（6 / 7）^ 7≈0.3399，
所以，“只有一个角块在原位的概率”为 （6 / 7）^ 7≈0.3399 。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-30 15:15 编辑 ]

乌木

这么看来，我4楼和9楼的算法还是有问题的。

乌木

真方便了！
最后一例等于9，不是44，笔误了。