想计算一下打乱后角块在原位的概率问题

xpboy

这个跟盲拧关系比较大吧，想请乌木老师以及各位数学高手帮忙计算一下，呵呵

想计算的如下：三阶魔方打乱后，所有角块都不在原位的概率；1个角块在原位的概率；2~6个角块在原位的概率；

还有小循环的概率：一次循环完成所有角块的概率；2~4个角块小循环的概率。

因为现在正在研究彳亍法编码，想大概了解一下一般需要多少步的编码，所有有如上问题，多谢！

xpboy

哇，这个排列的公式居然这么复杂……太强了，这都能算出来……

pengw

有了11楼的公式，那么可以偿试计算三阶所有块不在原位的状态有多少

pengw

是笔误了，已更正。推导过程很繁杂，就略去了。

乌木

真方便了！
最后一例等于9，不是44，笔误了。

pengw

帮8楼整理出一个n个块不在原位的所有可能排列之关键计算公式，不用穷举，太费事了
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F=n!*　(1+∑（（-1）^a*1/a!))，  其中(a=1到a=n，n是大于或等于2的正整数，n对应不在原位的块数)
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用公式F可以轻易计算出n个块匀不在原位的所有可能排列数，跟你的计算值完全一致

n=2:2!*(1-1+1/2!)=1
n=3:3!*(1-1+1/2!-1/3!)=2
n=4:4!*(1-1+1/2!-1/3!+1/4!)=9

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-8-30 22:36 编辑 ]

乌木

这么看来，我4楼和9楼的算法还是有问题的。

乌木

7楼计算显然不对，试试重新算。

一个角块在位，其余7个角块中的某一个不在位的情况有6种，每一种都含有其余6个角块在6个位置上的位置变化数6！，总共为6×6！种。
7个块中的某一个不在位的概率就是6×6！/ 7！，
所以，7个块都不在位的概率为 （6×6！/ 7！）^ 7 ，
相应的7个块都不在位的数目为 （6×6！/ 7！）^ 7 ×7！。
一个在位的角块带上这么一大帮子，那么，8个分别在位的角块共有态数为
（6×6！/ 7！）^ 7 ×7！ ×8 ，
8个角块的所有变化数为8！，上述态数所占的分数为
（6×6！/ 7！）^ 7 ×7！ ×8  / 8！＝（6×6！/ 7！）^ 7＝（6 / 7）^ 7≈0.3399，
所以，“只有一个角块在原位的概率”为 （6 / 7）^ 7≈0.3399 。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-30 15:15 编辑 ]

xpboy

我的前提确实如乌木老师所说，不考虑色相，只考虑位置

想了半天没想到合适的计算方法，我就编了段程序穷举了一下状态数 -_-!

角块变化数为8!=40320种
全不在原位的状态有 14833种，大概为36.79%

一个角块在原地，剩下7个角块不在原地的状态有1854种，那么对应状态数*8=14832种 概率 36.79%

两个角块在原地，剩下6个角块不在原地的状态有265种 对应状态数*C(2,8)=265*28=7420 种 概率 18.4%

三个角块在原地，剩下5个角块不在原地的状态有44种 对应状态数*C(3,8) =44*56=2464 概率 6.11%

四个角块在原地，剩下4个角块不在原地的状态有9种 对应状态数*C(4,8) =9*70=630 概率 1.56%

五个角块在原地，剩下3个角块不在原地的状态有2种 对应状态数*C(5,8) =2*56=112 概率 0.28%

六个角块在原地，剩下2个角块不在原地的状态有1种 对应状态数*C(6,8) =1*28=28 概率 0.07%
全部在原地， 1种 概率 0.0025%


以上相加正好是40320种状态

小循环数目的计算方法还没想出来…………

附上我的html源文件

[ 本帖最后由 xpboy 于 2009-8-30 13:48 编辑 ]

乌木

“1个角块在原位的概率”是指“只有一个角块在原位的概率”吧？
仍约定参照中心块；角块的色向变化不计；允许单单两个角块交换位置性质的位置状态。
一角在位，其余7角的位置本来可以有7！种变化数；现在要扣除7！之中有的角块也在位的情况数，这涉及7块之中选1个、2个、3个……等等的组合数，我是搅不清了。还是看看7个角块都不在位的概率吧。
7个块中的某一个不在位的情况有6种，每一种都含有其余6个角块在6个位置上的位置变化数6！，总共为6×6！种。
7个块中的某一个不在位的概率就是6×6！/ 7！＝6 / 7 。
所以，7个块都不在位的概率为 （6 / 7）^ 7 。
这是8个角之中1个在位7个都不在位的概率；8个角分别单单一个在位的状态数之和的概率，是8个（6 / 7）^ 7 相加，不是相乘，因为这8种情况不是同时发生的，对吗？
所以，“只有一个角块在原位的概率”为 8×（6 / 7）^ 7 。
有问题了，概率大于1了，可以乘以8吗？
望行家指点。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-30 11:28 编辑 ]