概率问题：球面四点

乌木

我上面想的那大圆相当于“切西瓜”（切“瓜”的平面必须通过球心）时球面的“切口”。让三个点在一个半球好像没问题，没想明白的是，初步定了如何切法之后，能否再调整一下切口－－不仅头三点在一个半球内，还能调整得使第四点也包括进来？如果总是可以使四个点在一个半球内（包括有些点子在切口大圆上），那么概率岂非为1？

cube_artist

QUOTE:

以下是引用牛眼看魔方在2007-6-1 16:49:35的发言：

三点一定处于一个半球面，四点处于这个半球面几率为50%，上述表达完全正确，但您怀疑的大圆是否固定，不知道是指什么？

就是说,在第4点落下之后,那个大圆可以有很多种情况,怎样定下这情况,其中也是一个概率问题.

cube_artist

汗...没注意到乌木兄已经回答了.

就是这个意思,说得比我直白多了....

[em04]

这个问题已经困扰了我一个多月...

牛眼看魔方

求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。

因为是均匀分布，所以取到每个点的概率密度与取到其对径点的概率密度是一样的。每个点都有一个对径点，这样便有n对点。在每对点中各取一点，共有2^n中取法，每种取法的概率密度是相同的。现在只要计算这2^n 种取法中，有多少种取法[记为F(n)]是落在同一半球上的，则所求概率为F(n)/2^n 。

上面有个假设，即认为F(n)的值只与n有关，而跟n个点的具体位置无关。这个是可以证明的（忽略两点重合，三点共大圆的零概率情况）。而且，还可以证明，F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于
n^2 - n + 2。于是所求概率等于 (n^2-n+2) /2^n 。

网上搜来的，按照此公式得出的概率是14/16

注意，不要被题目迷惑，它得出公式是算任意四点在半球面的概率的。

另外，要注意的一点是，如果三点在同一大圆上的情况已被排除。

cube_artist

谢谢牛眼看魔方兄的资料.

虽然现在还是有不明白,我再思考一下. 

问题一:"共有2^n种取法"的"n"和"求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。"的"n"是同一个n吗?

牛眼看魔方

是同一个n.

乌木

牛兄改条件了，题目中并无“均匀”这一条件。当然，您给出的是“均匀随机”，可作为另一题的。

牛眼看魔方

这个问题比想像中的复杂很多，

我想了一下低一维的情况，就是说任意三点在同半圆的情况，你就会发现，第三点是否与前两点在同一半圆取决于两个方面，一个是过前两点的弧形大小，另外是第三点落在该弧形对称的另一个边那个弧形的概率。

那么同理，三维的问题也一样，第四点是否与前三点在同一个半球形取决于两个方面，一个是过前三点的球面面积大小，和第三点落在该球面面积的对径点的概率。

我觉得这对于我已经太高深了，没有一定的数学知识应该解决不了，就好象尺规是不能化圆为方一样。

cube_artist

2,如果是同一个n的话那不止2^n种取法吧?

3,均匀随机是个什么的概念?

另外,正如眼兄所说.

"过前两点的弧形大小"其实就可以看成在第一页里面您的提问"大圆"的含义.

大烟头

这题目太难了。

大家先想一下二阶魔方任一颜色在同一半的概率吧