空心魔方特殊情况 解释（还是老帖子 标题改了一下）

乌木

20楼说的“12”也可以这样推断出来：三阶纯色魔方的任何一个态，都有另11个态，这12个态的中心块组保持一致时，角块－棱块框架相互比较下来只是框架整体转过了偶数次90度。当中心块看不出后，这12个态不得不算作（相对于某个魔方块而言的）一个态了。所以空心魔方的总态数就是三阶纯色魔方的1/12 。

想象中的角块－棱块框架的另12种整体运动（转过奇数次90度）属于转不出态，在三阶纯色魔方的状态中不存在。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-21 10:34 编辑 ]

pengw

乌木说得很对，我不小心截留了（H/2）中的2，应该1/12，谢谢。其实还可以直接从三阶纯色中，应用N阶定律，导出相同的结果，试试。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-8-21 11:37 编辑 ]

pengw

相对同一个外部坐标，即不消空心同态的前提下，空心比纯色状态多2倍，消同态后，反而比纯色少12倍，这是为何，谁愿意通俗地解释一下？

乌木

这确实是很有趣的现象，而且用数学式子解释好像反而不如通俗解释有味道，后者也不容易解释好。我还要想想，大家都来试试。

pengw

我倒是想出一个很巧妙的解释，在公布以前，想看看还有没有更巧妙的描述，显然这是不能跟N阶定律冲突的。

乌木

正是，看看大家是如何说的。我上面21楼就算一种粗浅的说法吧，有了什么新说法的话，我会贴上来的。

乌木

先看几个事实：
1、三阶有心魔方，相对于中心块组而言，转不出单单两个角块（或棱块）交换位置的状态。
2、三阶空心魔方，相对于最初“复原”的角块－棱块框架而言，有时会转出单单两个角块（或棱块）交换位置的状态。
3、三阶有心魔方，不相对于中心块组而相对于最初“复原”的角块－棱块框架而言，同样可以转出单单两个角块（或棱块）交换位置的状态。
4、第3点所述的状态，保持不变，但转而相对于中心块组而言，查看下来就决不是属于单单两个块交换的状态了。

可见，说一个魔方态的性质，参照物极其重要。
这些话也许对答复23楼的题目有用。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-22 09:15 编辑 ]

乌木

21楼的思路是把现成的约4.3×10^ 19个三阶纯色魔方的状态，每12个角块－棱块框架（整体运动后）一样的态，因中心块变瞎而合并为一个态，得到空心魔方的总态数为4.3×10^ 19/12 。

如果换个思路，结论应该一样。把空心魔方的角块、棱块拆下，再随机组装，其组装态数中需要排除的、空心魔方转不出的状态数，只有角块色向错装性质的态数和棱块色向错装性质的态数，无须排除单单两个块交换性质的的态数，最后合并一下24种同态即可：
8！×12！×3^7×2^11 / 24＝4.3×10^ 19/12 。

同时也可见，要是我就是要参照魔方的周围环境，不把24个不同取向的魔方状态合并，就是算作24个态，并无不可的，只要声明参照什么即可。这样，空心魔方的总态数为
                  2×4.3×10^ 19 ，
比三阶有心魔方的、参照中心块组而言的总态数还多呢。

还是那句话，参照物极其重要。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-22 16:51 编辑 ]

乌木

再想想，上述两个总态数可以比较吗？
三阶纯色有心魔方的转出态总数约4.3×10^19是相对于中心块组而言的；
三阶空心魔方的转出态总数约4.3×10^19/12是相对于某个指定的角块（对吗？）而言的。
两者的参照物不同，可以比较吗？
如果三阶纯色有心魔方改用某个指定的角块为参照物（即和空心魔方的参照物一样），其转出态总数是不是还是约4.3×10^19？如果也是，那就可以和空心魔方总态数比较了。
只感到数学基础不够了，没有把握地想想，三阶纯色有心魔方，同一个魔方，无论用中心块为参照，还是用某一指定的角块为参照，其转出态总数应该一样的吧？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-22 20:57 编辑 ]

pengw

乌木的回答很有见解，同时又回来到一个基本问题上，即什么是魔方的一个状态？