[转] 1138户中选514户中出现14人连号，概率有多大？

hexwing

水木的特快版也在讨论这个
http://www.newsmth.net/bbstcon.p ... ss&gid=11062084
要登录

hexwing

发信人: Emmons (:)), 信区: NewExpress
标  题: //14连号问题，水木终极版//
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 13:10:56 2009), 站内

【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: Emmons (:)), 信区: Mathematics
标  题: //14连号问题，水木终极版//
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 13:10:12 2009), 站内

问题背景：1138户中选514户，514户中出现14人连号，这种现象出现的概率有多大？记者就此连线了华中科技大学概率统计系副主任王湘君。
经半小时核算，王湘君说概率为1.4%。

理论计算版：

发信人: shift (负债累累), 信区: NewExpress
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 09:31:02 2009), 站内

从n个数里面选m个,至少有k个连号的情况是:
(n-k+1)C(n-k,m-k)/C(n,m)
至少k+1个连号
(n-k)C(n-k-1,m-k-1)/C(n,m)
刚好k连号
上面式子相减


发信人: Xubuntu (温酒斩华佗), 信区: NewExpress
标  题: Re: 高人~~Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 10:00:29 2009), 站内

f[1138, 514, 14] = 0.0149948
f[1138, 514, 15] = 0.00666435


发信人: CTO (人民群众纷纷表示对生活影响不大), 信区: NewExpress
标  题: Re: 高人~~Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 12:56:45 2009), 站内

我算的结果：
f[1138, 514, 14]-f[1138, 514, 15]=0.833%


发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君 (转载)
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 13:01:45 2009), 站内

如此估算比较繁琐了，可简单计算
从n个连续数字中选择m个出现k个及以上连号概率为
(n-k+1)*nchoosek(n-k,m-k)/nchoosek(n,m)
出现k+1个及以上连号概率类似计算
故知恰好出现k连号概率为
0.015-0.0067=0.0083


----------------------------------------------------------------

计算机仿真版：

发信人: rainarch (尘纹), 信区: NewExpress
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 10:20:47 2009), 站内

我算不出来，用程序模拟一下，具体如下：
0. 每次用随机数对1138选514
1. 每回合摇号摇100,000次，统计出现14连号以上，也就是包含14+的次数。
2. 总共3回合。
结果如下
       14+次数
回合1：815
回合2：841
回合3：811
合计+:2467
也就是说命中率 0.82%
这个不是完全意义上的统计概率。



发信人: LouisaSquare (苏玉华), 信区: Mathematics
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君 (转载)
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 12:01:18 2009), 站内

估算还是可以的。
定义事件 Ei = {选中的514个数中含有i，i+1，....,i+13}, i=1,2,...,1125
如此|Ei|=nchoosek(1138-14,514-14)，
=>|E1|+|E2|+...+|E1125|=1125*nchoosek(1138-14,514-14).

这样数显然有重复，比如1，2，3,....514这种组合就属于每个Ei，在上面的计数中被数了（1138-13）遍.
但无论如何，这个估计是个上界，即所计算的概率p满足
p<1125*nchoosek(1138-14,514-14)/nchoosek(1138,514)=0.0150.

下届的估计似乎不容易。我得到的一个下界是0.0054。但是计算已经很繁琐了（虽然想法不复杂），就不写过程了。
所以0.54%<p<1.5%

我用Monte Carlo抽样了999999次，得到的结果是p = 0.821%


发信人: LouisaSquare (苏玉华), 信区: Mathematics
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君 (转载)
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 12:41:34 2009), 站内

刚刚又用更繁复的办法改进了上下界
0.79%<p<0.83%

结合蒙特卡罗的结果，如果只精确到两位小数的化p应该就是0.82%