[原创]魔方色向定理

邱志红

魔方色向定理

作者：邱志红

0.卷首语
感谢魔方吧给我一个展示自我的空间，感谢理论区版主PENGW对我工作的大力支持。

本定理适用于所有魔方，包括三阶魔方以及衍生出来的N阶魔方，多面体魔方甚至类魔方玩具等等。定理作用是确定魔方各色向块色向在魔方变化的时候始终满足的条件。

本论文采用了全新的分析方法及认知理念，剥去魔方多彩的外衣，跳出公式的圈子，抛弃方位表示，转层表示及转动表示等累赘，一统多边形的层（面）及多色向块的色向问题，专心直击一转的过程，终得魔方色向之本原。初涉魔方者易得其要领，久涉魔方者反倒不易。

 1.色向定理的原理描述
抛开魔方表面的颜色，将自然数标示于魔方的各块的各表面上，多色向块的表面一律按顺时针（逆时针亦可）依次标上连续的自然数。按一定规律纪录魔方初始及变化过程中的数字排列，把魔方的色向变化问题转化为数字排列的变化问题。

 2.编码排列及纪录规则
2.1编码排列

讨论色向问题，各块的位置问题这里就无视。而且这里只讨论一般性的一簇及一转，只涉及一层，也就是只涉及魔方一簇中在同一层的各块，下面简称层轮换块。下面讨论的均是m个块，每块n色向的情况。

首先，我们引入二维表的形式来描述层轮换块的状态。

一般层轮换块上数字的二维表排列为：

表1

层轮换块参照系的二维表排列为：

表2

解释一下上面两个表：

表1的每一行就代表一个块上数字的排列，其行标相同，一共m行，对应m个块。每行的不同列就是一个块上不同色向位上的数字了，依列标的增大而依次增大，到了n就突变为1再依次增大。

表2是表1的参照系，它的选取与表1没有联系，是独立的。在一转的前后是不发生变化的。

2.2纪录规则

实体魔方上的块及块上数字的排列是这样的：层轮换块构成一个大圈，而每块各色向位上的数字构成一个小圈。我们首先把大圈从某个地方“剪开”并拉成一列，然后把各小圈上从相应的地方“剪开”各自拉成一行，这样圈嵌套圈的排列方式就映射到一个二维表上了。具体映射规则：

1. 层轮换块依次按顺时针展开从上而下地映射到二维表的m行。

2. 层轮换块各块上的数字按顺时针展开从左而右地映射到一行的n列。

3. 一转过程中，层轮换块各块上位置相互轮换的m个数字映射到同一列。

比如一个层顺时针转动一个单位，表1就变化为：

只是最后一行轮换到第一行，而每行的各分量并没有轮换。如果没有第三点，那么层在转动的时候，映射得到的表就是行在轮换，每行的各分量也同时轮换，这样就不便于控制与研究。

注：为描述简洁，在不引起混淆的情况下，上面两个表就简称为表1，表2。

 3.扭转数的概念计算及色向定理。
3.1扭转数的概念

扭转数顾名思义就是魔方的一个色向块扭转的次数，是反映色向块扭转情况的。这里我将对其作数学上的严格定义。

扭转数：表1的某一行的排列相对表2同一行的排列从左而右轮换的次数。

扭转总数：表1中所有行的扭转数的总和。

3.2扭转数的计算。

在第1节有这样一个假定：多色向块的表面一律按顺时针（逆时针亦可）依次标上连续的自然数。这样在表1与表2中的行的分量也是连续排列的，而且统一是从左到右的顺序。一般形式为：

j  j+1 ……n-1  n  1   2 …… j-2  j-1

特殊的情况就是自然的排列了：

1   2 …… n-1  n  

一般的情况是表1中某一行的排列为：

k  k+1 …… n-1  n  1   2 …… j-2  j-1               （1）

而表2对应行的排列为：

j  j+1 …… n-1  n  1   2 …… j-2  j-1                （2）

那么此时就来比较下“1”在排列（1）与（2）中的位置差距就可以得到扭转数了，1在（1）中的第n-k+2位，1在（2）中的第n-j+2位。于是该行的扭转数就是（n-k+2）-（n-j+2）等于

j-k

这个结果很重要。

 3.3色向定理

 魔方的一个层在一转过程中，位置相互轮换的色向块保持其扭转总数不变。
 证明：一转前后表1第s行扭转数的变化记为△s,总扭转数的变化记为△。

那么，一转前，表1第1行的扭转数为q_1,1-p_1,1
          一转后，表1第1行的扭转数为q_2,1-p_1,1
                 △1= q_2,1- q_1,1

同理          △2= q_3,1- q_2,1
                 △3= q_4,1- q_3,1
                  ……

                 △m= q_1,1- q_m,1
  于是，△=△1+△2+……△m=（q_2,1- q_1,1）+（q_3,1- q_2,1）+……（q_1,1- q_m,1）≡0 

  即  △≡0

    命题得证。

 4.要点回顾
将魔方圈嵌套圈的排列方式映射到一个二维表上，能很容易地描述魔方的状态及计算魔方各参数。基于此描述方式的色向定理则深刻地揭示魔方色向问题的本质。

 5.作者自述
论文原创者:邱志红

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qq:357484743

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俗事所扰，短短不足两千字的论文终于在圣诞节完成了。希望我的论文能彻底让你理解并解决魔方色向问题。希望各位同仁不吝赠教.谢谢你读本人的拙作。

完成日期:2006年12月25日

发表日期:2006年12月26日

[此贴子已经被作者于2006-12-26 9:58:44编辑过]

黑白子

邱志红 发表于 2006-12-27 10:52
千推敲万琢磨，色向定理还是不够完善。又推敲了下，添上一句修改为： 魔方的一个层在一转过程中，位置 ...

好极了！你的文章逻辑性很强。由于给出了证明，结论总是令人信服。

八目阿修罗

受益~~~~~~匪浅

lj040051

看看了~~~~~~~~~~~~~~~~```

yq_118

太抽象了,能不能结合具体例子讲解一下

菜头

头都大了，什么都没懂

tyeken8

好晕好晕…

xiangping

理论有点深，看不太懂啊

silver886

哇...好长吖...

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又是你啊，对啊这才叫玩魔方，谢谢啊