四维斜交六角12根鲁班锁

乌木

这是A_Apple贴在本区的一个图（图中少了两根“销子”），这12根圆柱加粗、变六棱柱、并改用铆榫结构大概就成为1楼的更奇妙的、难度更大的拼装智玩了。
与这12圆柱拼装智玩有关数学的一些初步讨论见本区另一帖：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=624&page=1&extra=page%3D11

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-3 16:42 编辑 ]

乌木

四个方向上各有三柱，它们和立方体的关系见下图：

[此贴子已经被作者于2006-12-10 18:14:14编辑过]

乌木

6楼说：“这个锁有4个轴，任意2个轴均成60°（异面直线）。每个轴方向有3根棍。端点所在平面（8个）构成正8面体。”
我认为，4个“轴”可以交于一点的。即，每根“轴”移到三根柱的中心（每“轴”周围平行分布三根柱子），这样的四根“虚轴”就是立方体四根空间对角线，该立方体可以内接于所说的八面体（见下图）。正八面体每两个平行的面的面心的连线就是相应的一根“虚轴”所在处。
此外，立方体两空间对角线的夹角为70°32′（或者再准确些为70°31’44”），所以相应的两根柱子所代表的异面直线的夹角也是70°32’。说60°恐怕是误解了。这个角度应该有关该锁的制作的。    

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-24 16:36 编辑 ]

乌木

您说：“轴之间的角度不等于外接正多面体对角线的角度，而等于外接正多面体平行面的公垂线之间的角度。”

我说的立方体空间对角线正是那外接正八面体平行面的公垂线，它们的交角不是60°。

反之，您制作时用了60°（这样显然方便些），那么是否外接的不是正八面体，而是（非正）八面体？

比如，它的两根空间对角线是相等的，但第三根空间对角线就长了一些。也就是说，如果一个正八面体有一根空间对角线是竖直方向的，它伸长了一些后，八面体上下两个顶点的距离变大些，其余四个顶点的坐标不变，得到的八面体有点“拉长”了，属于一般的八面体。

在后一种八面体中，里面的12根柱子还是一样长，12根柱子与八面体内接时（三个端头）的一点点“不服贴”的小问题不明显，因为60°和70°32’相差不算大。

[此贴子已经被作者于2006-12-12 13:40:31编辑过]

乌木

没有实物，不容易看出（有了实物我也不一定看得出）。是否如下图那种菱十二面体？

乌木

是不是要这样想：四束铅笔共8个端头，分别从下图的八面体的一个面射出；八面体和菱十二面体又有下图关系。据此，再去找那12支铅笔造型中所围的菱十二面体。

乌木

QUOTE:

以下是引用钟七珍在2007-9-11 17:03:04的发言：

　

　　回答乌木先生：

　　乌木先生提供的四幅图片的外形其实是完全一样的，尽管表面花色不同，但它们都是菱方十二面体。

　　菱方十二面体只有一种形状。

　

对。我不是说外形不同，而是多找些菱十二面体例子。

乌木

噢，原来如此。那么，那中心空穴是封闭的吗？

 

此外，菱12面体的相对两个面是平行的，“上下面透视”时是重合的。如果那12笔造型中心的空穴是封闭的菱12面体的话，相对两个面应该如此：一个菱形若是左右边为切割出来的槽沿，那么对面的菱形就是另两边为切割槽沿。不知对不对？

[此贴子已经被作者于2007-9-12 2:01:37编辑过]

乌木

由此想到，改用12根硬纸条（例如名片）或薄塑料条等应可搭成同样造型的吧？每组三根纸条，只是指向平行，三个纸面互相不平行（如下图）。只有如楼上所示，“对面的”、空间斜“交”的两纸条（交角为70°32’）才有平行的纸面。12根纸条的位置关系除了看上面的铅笔造型外，是否还可参考这一帖：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=624&page=1&extra=page%3D11 。
纸条拼搭十分困难，正在想法。或许得先做个小小的菱形12面体芯子？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-3 16:49 编辑 ]

乌木

用厚纸做了一个菱形12面体，边长1厘米。

有了它仍然不容易装配12根纸条，不做真的装配也罢，现在非常有助于理解钟兄所说的12支铅笔和内部空穴的相互关系了，只要稍加设想－－把12个菱形面假想地、正确地往两边延伸，四组（每组三根）纸条（即铅笔的内侧面）如何围出一个菱形12面体，非常“直观”。

这三根纸条的上下指向就是菱形12面体相对的两个“三面共用顶点”的连线方向。菱形12面体共有8个三面共用顶点，正好对应于铅笔束的8个端头。

菱形12面体还有6个“四面共用顶点”则分别对应于那铅笔造型的6个“四束笔的出发凹坑”－－上下左右前后6个，有如从每个“凹坑”向四个方向爆出四束礼花一样。