请教：扰动的定义

管窥子

谢谢各位的解答，但是我觉得还是没有说明白，只是用一个词替代另一个词而已。

乌木

要用像样的数学语言来叙述我不会，别人写的正规一点的文章，我也看不大懂。我试试罗嗦罗嗦。有的说法没把握时，我会反问一下。有错的话，大家指出。

在三阶魔方中，各块有色向变化，有位置变化，好像扰动问题只是对位置变化而言，对吗？
角块只能在8个角位上周游，它决不会跑到棱位上或中心块位上去。棱块也只在棱位上走来走去。这样，8个角块总称角块簇，12个棱块总称棱块簇。至于中心块，为了方便，固定它们，委以“三阶魔方变换参照物”的重任－－各块的一切位置变化（以及色向变化）均相对于中心块簇而言！（10楼那图的例子再好没有了：相对于中心块而言，和相对于别的东西而言，弄不好会得出不同的结论。）

打乱以后，相对于中心块组而言，角块簇和棱块簇一定是各自形成或多或少、或长或短的位置循环。一个循环由奇数个块构成，就叫奇元环（比如三元环、五元环，等等），由偶数个块构成，就叫偶元环。

凡是奇元环，都可以在簇内（用比如三轮换方法）使它的各块位置复原，而不影响簇内别的块或别的簇。
凡是偶元环，就办不到－－用比如三轮换方法可以在簇内让这个偶元环中的一部分块位置复原，最后必然剩下两个块要对调（至此还没有影响环外的同簇块或别簇的块）。而三阶中偏偏是，单单交换两个块是办不到的，解决这两个“钉子户”的交换问题非要涉及簇内别的块或别的簇。

一个正确三阶魔方的某簇中出现偶元环是完全正常的，问题是，它不可能单独出现。要么簇内共有偶数个偶元环；要么两个簇分别都有奇数个偶元环。这现象反过来说明，要在一个簇内复原一个偶元环的话，一定要影响簇内环外的块的位置，或者一定要影响另一簇内某些块的位置。最好的例子就是，PLL 公式中没有单单两个块交换的，要么一个簇内有两个二置换，要么两个簇各有一个二置换。

一般，相对于中心块而言，三阶的一个簇内有了奇数个偶元环，就叫该簇为扰动态。这是指整个簇为扰动态，不能指认某几个块为扰动态，因为造成扰动态的这种位置情况可以在簇内转移的。同时也可以知道，一个簇为扰动态时，另一簇一定也是扰动态。否则，必定是错装态。

三阶中奇元环和偶元环同时存在时，一个簇的扰动性质，只与偶元环及偶元环的数目有关，另外有无奇元环无所谓。比如棱块簇有一个二元环和一个四元环，不是扰动态；有一个六元环，是扰动态，等等。

至于中心块自转方向变化为显性的所谓“全色三阶魔方”，在扰动问题上的表现倒不是位置问题，而是，角块、棱块处于扰动态时，中心块簇也一定处于扰动态－－相对于复原态而言，有奇数个中心块转过了90度（无论顺、逆时针）。也就是，三阶全色魔方的任何一个态（包括扰动态和非扰动态），无法使奇数个中心块再转过90度而不影响角块、棱块的当时状态。但是，任何状态（哪怕是个错装态）时，使偶数个中心块再转过90度，或使任意个中心块再转过180度，且不影响角块、棱块的当时状态，毫无问题。

所以，什么叫扰动，是不是可以这样说：一个正确三阶魔方中，相对于中心块而言，角块含有奇数个位置偶循环（此时棱块一定也这样，中心块则一定相对于复原态而言有奇数个转过了90度），该魔方的状态就是扰动态。

扰动态不等于错装态，前者可复原，后者不可复原。错装三阶魔方如果只有色向错，位置没错，同样可以有扰动态，其位置照样可以复原，只是色向不可复原。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-6-12 09:56 编辑 ]

管窥子

多谢乌木先生，解说的明明白白。我觉得应该对基本的概念有个集中的解释，并置顶，以便新手学习各位大师的理论。

pengw

扰动，这个由我首次引入到这里的概念，可以理解如下

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扰动：一个簇发生某种变换影响到其它簇的状态
扰动变换：导致簇奇偶性发生改变的变换称为扰动变换
扰动关系：偶态簇与奇态簇的搭配关系

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相关描述在N阶定律中有详述，原本完整的N阶定律贴子由于与非本人无关的不明原因而变得残缺，本人也没有留底，只能表示遗憾，也许某天有兴趣去重新修订。

须要说明的是，05年初，本人在N阶定律框架内统一了N阶魔方理论，在此框架内，N阶魔方所有变换结果（最短步数开解除外，事实上，最小步仅仅只是与路径相关）匀在N阶定律预言之内，没有例外，很多人不愿承认堪至是痛恨，但实在是找不出反例，多说无益，有兴趣可以自已去偿试。

自05年以来，N阶定律的细节及与应用相关的内容又有极大的充实，但无法回答单脚拧与二指拧之间的差别，不知道这是不是很重要？哈哈哈

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-6-26 08:28 编辑 ]

lylylyly

乌木先生解说的很详细,也很清楚,
其实,一个簇未被扰动的"单纯态"是怎样的呢?
通过簇内一系列的变换,可以在簇内使它的各块位置复原,即能在本簇内复原的状态.
是否簇内任一状态都能复原呢?不是.因此就有了扰动态.,即在簇内不能复原的状态,原因在于簇内基本变换的能力有限.由于魔方结构的限制,无法在簇内实现两块对换,只能实现三轮换,即簇内的基本变换只能是三轮换.因此簇的复原就只能靠族内三轮换的反复应用了.或归结为族内三轮换的反复应用.
问题就出来了,三轮换是偶置换.无论使用多少次,只能将奇态恢复为奇态,偶态恢复为偶态.故欲恢复为作为偶态的初态,当前态须为偶态,此即未被扰动的"单纯态".
因此,所谓扰动态即是奇态,是簇内三轮换不能复原的状态,超出簇内恢复能力的状态,是被外部"扰动"的状态.
显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关,我的看法可能与乌木先生不同.
每一簇置换环的结构可帮助确定状态的奇偶和扰动与否,是有效手段
不妥之处,请指正

乌木

楼上说：“显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关”，
那么，让纯色三阶的六个中心块同色，或者改变结构成为“空心魔方”，有时，接近复原的尾声时，会出现要求单单交换两个块的情况。如果是要单单交换两个棱块，能否说该魔方此时棱块簇处于扰动态，而角块簇处于非扰动态呢？如果再让情况转换为单单两个角块要交换，是否又变为角块簇扰动，而棱块簇非扰动呢？
这样认识似乎也无妨，只是参照物是复原态的角块－棱块框架整体而已。至于此时的中心块组，本来无区别或看不出，不用理睬它们就是了。对吗？
而且，还可以看上去仅仅在扰动簇内部解决例如两块交换的问题呢，比如：
         
  
  
  
  
  
  
  
  

这么一来，也就无所谓扰动态了。不是吗？这个动画的例子，表明如果抛开中心块或不参照中心块的话，簇内二交换也好，三轮换也罢，都能簇内解决，何来扰动不扰动呢？
这样，对扰动的含义，得重新考虑了。
但是像10楼一类的图，就不能无视中心块组的存在了，除非事前声明不计较中心块组的变化。
所以，通常说的扰动态角块只能和扰动态棱块组合，非扰动态角块只能和非扰动态棱块组合，云云，其实是省略了说前提－－中心块看得出，且被作为角块、棱块位置变化的参照物。
总之，对于“显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关”这句话，我初步想到这些问题，还未完全理清楚。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-4-3 23:29 编辑 ]

乌木

或许可以这样理解你的说法：

通常用中心块簇作参照，固定它们的位置，则相对而言的角块簇的位置变化和棱块簇的位置变化分为两类－－偶角簇组合偶棱簇；奇角簇组合奇棱簇。总态数多达四千亿亿。

这么多的状态之中，有一批是角块簇本身保持着复原态时的相对位置关系没变，只是相对于中心块簇而言角块簇有了整体旋转，好，对这一批状态，不妨用这样的角块簇为参照，奇棱簇组合奇态中心块簇，偶棱簇组合偶中心块簇。
此处的所谓中心块簇的奇偶，是否不看各中心块的自转角度，而改看相对于角块簇整体转过奇数次或偶数次90°。而空心魔方的“中心块”，被运动规律同样的“空间”代替而已，这规律不因为玩家看得出看不出它们而变。

类似地，四千亿亿态之中，还有一批棱块簇本身情况相对而言没有乱，不妨用棱块簇为参照，考察角块簇和中心块簇的奇偶组合关系。

（顺便提一下，六面换心态和四面换心态则是这两批状态的交汇，甚至可看作三种参照法的交汇：对这批换心态分别用三个簇作参照，都不难分析。）

看来，后两种观察方法和第一种参照中心块簇的方法并不矛盾，描述的是同一事物－－魔方各块的位置变化规律。一定条件下用角簇或棱簇为参照只不过是参照变换而已。

这样想想，你的说法“显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关”还是有道理的，只不过说法似乎还可以改得更确切些。

顺便提一下，一个簇块的位置变化之所以会有奇态、偶态之分，离不开魔方的基本动作的性质。三阶的基本动作是表层每转90°，总是发生一个角块四轮换并一个棱块四轮换和一个中心块自转90°。高阶的基本动作不只是表层转，还有内层转，情况又不同一些。
“彩虹魔方”表层每转只有一个簇块的一个三轮换，就谈不上奇偶交替变化；“五魔方”表层每转总是一个簇块的一个五轮换和另一簇块的一个五轮换，也没有奇偶变化。
更有意思的是，SQ－1魔方，还可以做到单单交换表观不同簇的“角块”和“棱块”两个块！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-4-5 23:25 编辑 ]

smok

要弄清楚为什么定义扰动,首先要明白不同簇的簇状态是如何进行组合，每一个簇都可以任意变换，但是，要把它们变出的状态拿出来组合，则不是随意的，扰动就是研究不同簇的状态是按照什么规则进行组合。很多人，在没有弄清原由的情况下，拿着半截就发问，如果你弄清楚了这个问题，自然就理解了N阶是如何在变换。当然离了公式就寸步难行的人，可能不适合理解这类问题。

现在已经有人企图去向公式求取最小步答案，这就意味着跟状态数决斗的大戏即将开场。

[ 本帖最后由 smok 于 2010-4-4 10:56 编辑 ]

smok

每一个簇都有独立的奇偶性，与这个簇所属的阶无关，扰动说白了，就是研究不同簇的奇偶性是如何搭配，通俗地讲，就是不同簇的状态如何组合，很多玩了几十年魔方的高人都没有弄明白这个魔方最本质的问题。

铯_猪哥恐鸣

回18楼，至少现有的求最少步的方法还不可能通过公式来做，但是在未来很多事情就很难讲了。。还有我怎么觉得真正离开公式就寸步难行的是你。。