切西瓜

bennielf2

每切一刀有一个新的平面，其实就是平面将空间分份的问题


切第n刀后有S(n)块，为使新增的空间分块（块数）尽量多，应该与前面的n-1刀的平面都相交，于是有n-1条交线。

n-1条交线最多可以把第n个平面分成（n^2/2-n/2+1）个平面分块

（这里用到平面板的切西瓜问题，或者可以叫切薄饼吧！就是n刀可以把薄饼切成几块的问题）

每个平面分块对应一个新的空间分块（这一刀新产生的西瓜块），也就是多了（n^2/2-n/2+1）块

综上，有关系式S(n)-S(n-1)=n^2/2-n/2+1

利用这个递推式，且已经知道S(1)=2(一刀最多有两块)，得到

S(n)=n^3/6+5n/6+1

bennielf2

33楼 提到没有瓜皮，现在来算切最多块的情况下，有多少块是没有皮的，这里假设皮无限薄
切第n刀后有用T(n)表示这时有多少块不带皮的西瓜块。

在前面求S(n)的切瓜方法下，先求新增的不带皮西瓜皮数目：发挥想像力，前n-1刀的切面与这第n刀的切面相交，把这个切面分成了（n^2/2-n/2+1）个平面分块（就像求S(n)时所说的），
在这些分块中，每一个只由切面的交线围成的分块就对应了一个新的不带皮西瓜块，前n-1个切面在新n刀切面上分出的这样的分块有{(n-2)(n-3)/2}个，即新增的无皮西瓜块就有这么多块。
（这里又用到平面板的切西瓜问题，n刀把一块大圆薄饼切成最多块，其中有的分块是完全在薄饼内部的，与大圆薄饼的圆边不相交，可以求出有(n-1)(n-2)/2个这样的分块）

综上得到关系式T(n)-T(n-1)=(n-2)(n-3)/2

利用这个递推式，并且已经知道T(4)=1(四刀最多有一块无皮西瓜块)，得到

T(n)=(n-1)(n-2)(n-3)/6

bennielf2

32楼很有启发呵呵~~