求生成子群<R,U>的阶

yq_118

说简单点就是对于给定的三阶魔方,只旋转两个相邻的面,问能生成多少不同的状态.

乌木

噢。两个三轮换果然不合14楼题目的要求。
此事蛮奥妙，只转U、R层的话，单单认住任一个U、R层的角块，可以让它调到到U、R层六个角位的任一个位置。
而5楼引用的帖子中，g老师已经指出，固定1、2号角位的角块后，R层的四个角块只有四轮换的四种位置状态。这就排除了这四个角块的、一般而言的24种位置态之中的20种，也就是排除了其中的三轮换态。此事Cielo在那帖子中介绍了一种证明法，我还看不懂。

总之，那帖子中说，只转U、R层的话，有关的六个角块的位置变化数只有120，不是6！＝720。

我的问题是，只转U、R层的话，如果固定U、R层的另外的某两个角块，其余四个角块不在同一层，后者是不是同样没有某三个角块的三轮换？

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刚才此处贴出的一个例子的解释有误，删了。四个块位置轮转时，其中一种状态是两个二交换，比如做R2后就得到3、8号角交换，4、7号角交换。接连两个四轮换就得到这种两个二交换。0、R、R'和R2四个状态就是那帖子说的“四个角块团团转”。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-7 14:46 编辑 ]

stray

我的本意是想说明13#不是任何角位置都可以实现的， 两个角块三轮换当然不算。

我是听说的，不知乌木先生能否给个证明为什么三阶转两面不能有单独的角块三置换呢？

或者说要实现三置换有什么要求？（推广到各类魔方呢？）

乌木

如下所举的例子，有两个角块三轮换，算不算对你的问题的一种答案呢？（此处与层先法等复原法无关，不必保持下两层不变什么的，只要满足只转R层和U层即可。）

  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-6 23:30 编辑 ]

stray

只转动R,U没法实现三角置换吧？

jxf1991

我同意乌木老师的想法。。其实我的个人感觉是这六个角块的所有位置状态都可以实现。。因为现在需要的条件实在是太简单了。。只要有一个通过转动R,U实现三角置换的公式（方向可以不管），就可以证明六个角块的所有位置状态都可以实现。

乌木

好像他正是如你说的方法考虑的，问题是位置变化数X是多少，他还在研究。

我想，考虑这X时，是否要分四类：
这6个角块非扰动态数a
这6个角块扰动态数b
这7个棱块非扰动态数c
这7个棱块扰动态数d

如果这a b c d 种状态分别都可以只转R层和U层转出来，那么，
X＝ac＋bd 。

不知我的想法对不对？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-6 19:27 编辑 ]

conwood

接10楼的想法，角块和棱块的朝向都知道有多少可能，用类似整个魔方状态数的算法，应该能算出来吧？

jxf1991

呃。。发表一下我对这个问题的想法。。
解决这个问题，其实就是说有多少个魔方状态是可以只转动R面和U面就可以还原的。
首先，不管我们怎么动R面和U面，总有五个棱块和两个角块是不会移动的，所以我们的讨论，是关于另外的七个棱块和六个角块的。另外。。对于魔方的不可还原态，我们六个面全转尚不能还原，何况只让转两个面。。所以下面讨论的状态全部是魔方的可还原态。

一个魔方的状态。。可以分解为三个部分：角块方向，棱块方向，以及块的位置。

因此解决这个问题，也就可以分为三步讨论。
1.角块方向：我在CUBEMASTER的图解三阶盲拧（http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=493&extra=page%3D1）中找到这样一个公式：RUR'URU2R'U2R'U'RU'R'U2RU2,可以使魔方的两个角一顺一逆翻转。

我们还可以继续从这个帖子里吸取精华，假如我们把一个角块设定为缓冲块，那么当其余五个角块的方向都翻转正确后，这个角块的方向也会自动翻转正确。

因此：所有的角块方向状态都是可以实现的。假如我们把这六个角块依次编为一至六号，那么它们存在的方向状态数是3^5=243。
至此，第一部分角块方向结束。

2.棱块方向：这一部分很简单。。学习过盲拧或者XCROSS的同学可能都明白，无论是转动R面还是U面，棱块的方向状态都不会改变。。因此棱块方向的状态只有一种，即所有棱块朝向都正确。

3.块的位置：这一部分我正在研究。。只旋转R,U面，能使角块位置产生多少种不同的变化

P.S.今晚我就要坐火车去大学了。。。开学后军训。。十一前上网的情况都还未知。。这个问题现在只剩下第三部分我想知道的问题了。。假设这个问题的结果是X。。。我把之后的内容先发上来好了。。

假设我在块的位置那部分提到的问题结果是X，那么最终答案就是243X

对于任何一个属于这243X的状态，我们利用RU构造它的方法如下
1.使角块位置与目的状态相同
2.调整其余棱块位置，由于四个单纯换棱的公式都可以由R,U完成。。所以最后棱块位置必定可以达到与目标态一致。
3.调整角块方向。。上面提到的公式和方法。。

以上。。就是我对这个问题的完整想法

[ 本帖最后由 jxf1991 于 2009-9-6 14:39 编辑 ]

pengw

这是典型的方向问题，一个用转动来回答，另一个用块运动来回答。有谁能从转动角度计算出三阶的状态数？如果你能用纯转动的方式计算三阶状态数，那回答楼主的问题就有思路。否则这个问题可能要转化成“二个相邻面的块能排出多少状态”。

显然，用转动回答不了多少问题，不管你记多少公式，也无法回答一些根本性问题。