魔方公理

乌木

谢谢冬兄费心详答。

* 您说：“你可以将边角块簇和中棱块簇的所有块随意人工组装，不会出现非法组合。”

我解读为“随意人工组装角和棱的话，（就位置而言）都可位置复原。”这我还未想通，容再想。

* 您说：“如果你忽略三阶上的中心块和中棱块，你可以转出8!种边角块的位置组合，同理，中棱块是12！……”

这我接受。不过，是否把“组合”改为“排列”。

* 您说：“关键是，不同簇的状态如何组合才是合法，这是扰动关系讨论的问题。对三阶，要么所有簇是基态簇，要么所有簇是扰动簇，所有扰动簇的簇状态可以任意组合，所有基态簇的簇状态可以任意组合，不存在基态簇的簇状态与扰动簇的簇状态组合的可能性。而所有基态簇组合的状态与所有扰动簇组合的状态互不相同，但总数相等，因为簇组合关系只有二种，所以算出一种，乖上2，就是正确答案。”

我接受。但这都是指合法三阶魔方转动出来的情况，对吗？否则，我故意错装，其中角簇是扰动的，棱簇不扰动，它不是也可存在吗？只不过它无法仅仅经过转动复原，因而不必对它多所讨论，但要能识别它。

*您说：“乌兄之所以发生理解困难，是因为没有在意何为簇内变换，何为簇间变换，N阶定律就是为解决以上这类问题而创造的。”

是的，我还得尽量弄懂何为簇内变换，何为簇间变换。容后再说。

*那个“命题”我等等再试做。 对了，多给些习题做做是个好办法。

乌木

谢谢。

*您说：“人工任意组装，不会有置换状态错误，只有扰动错误。”

原来这两种错误不是用词的不同，而是不同的概念。看来我的问题出在这里。容想。

乌木

命题：“以复原三阶为始态，找出二套公式，一套步数为奇数，一套步数为偶数，这二套公式分别都可以做出同一种状态。……”

答题：不可能。因为，复原三阶是无扰动态，设它的6个表层的任何转动次数之和为 n ，n等于1～+∞之中的任一（自然）数，n 非奇即偶，相应的结果态就是非“扰动态”即“无扰动态”，故n为奇数和n为偶数的结果态不可能同态。

乌木

题目的意思是，如果任选一个三阶打乱态，选定之后，它的最少复原步数是奇数还是偶数？对吗？

我会做，再琢磨琢磨如何写答案，别的魔友也说说。

乌木

试做91楼的命题二。

如果是全色三阶魔方，例如表面各单元正方形除颜色外，还标有可以显示其方向的标记（例如文字或图案等），那么，角和棱上的标记无所谓（因为颜色足以表明它们的取向了），只要看6个中心块的方向如何。如果有另一复原了的目标魔方实物在，最好；否则应该设法知道复原态时各中心块上标记的方向。再考查打乱态魔方的中心块，统计被转过90°（无论顺、逆时针）的中心块的总数n。n为奇数，则该魔方复原的最少步数为奇数；n为偶数，则魔方复原的最少步数为偶数。
如果一时无法知道各中心块原来的方向，也可按下述纯色魔方办法做。

如果是纯色三阶魔方，中心块方向状态是隐性的，则只要考查角簇或棱簇状态。以角簇为例，不管它们的取向如何，只看位置变化如何。两角互换、四角轮换、6角轮换和8角轮换都属于偶（性换位）环，找出所有的、一个个偶环，并求出偶环个数之和m。m是奇数，则魔方复原的最少步数为奇数；m为偶数，则复原的最少步数为偶数。
改用考查棱块的换位情况也一样，只不过还可能有10棱轮换环和12棱轮换环而已。
过程中最好动动笔和纸。

其实，这样判断出来的，不仅是复原的最少步数之奇偶，也是或精明或笨拙的、或快法或慢法、或亮拧或盲拧的任何复原方法的步数之奇偶。稍有不符，一定是没复原！
所以题目中的“最小步数”，就此题来说，是迷惑迷惑您的。

举个例子。复原态－－做U'、L'、U、L、U、F、U'、F'。假定您不知道这打乱步数，这打乱态中，角簇仅有一个三个角的轮换，角簇的“偶环数”为0，故复原步数为偶数。看棱簇也一样，棱簇仅有一个五个棱的轮换，棱簇的偶环数为0，故复原步数是偶数。

乌木

冬兄说：“角块色向组合的合法与非法的比例是：3^7/(3^8-3^7)＝1/2,即一个正确对二个错误，如何平衡？……”

对此，我这样想，随意组装角块时，才会有一份合法角向态和两份非法角向态出现；而从某一合法的角簇子魔方（位置无扰动，角向和为零）出发，经URF……等等的转动，要求角的位置不变而得到所有的角块的方向态，加上初始态，一共是3^7种，都是合法的。就是说那两份非法的、角向和不等于零的角向态闯不进来的。

“3^7”，这正是魔方的角向组合中受到魔方规律（或说是某种平衡）制约的结果。

“3^8”，是8个角块的取向各自独立地、不受魔方规律支配地组合的结果。

魔方规律对“3^8”不负任何责任。魔方规律能搬出来用于解释“3^7/(3^8-3^7)＝1/2”吗？

[此贴子已经被作者于2006-12-7 15:15:22编辑过]

乌木

100楼说：
“乌木兄，你应该是细看了rongduo兄的文章，如果rongduo兄的论文全用转动获得的合法状态，我又何必画蛇添足？正是因为rongduo兄在文章中引入非法状态，我才不得不从这个角度，发表个人看法。rongduo兄用8！和12！，本意难到是全部合法置换状态？即然置换可以引入非法，为什么色向不可以引入非法？理由在哪？理论一定要保持逻辑的一致性，预言的一般性，描述的连惯性，作用对象的自足性。”

我谈不上“细看”的。

我一直以为（不知是否一直错误着？），转动正常魔方时，出来8！种角的位置态是完全可能的，其中一半是扰动态，另一半是非扰动态。当角位置态是扰动态时，棱的位置态也必定是扰动态；当前者是非扰动态时，后者也一定是非扰动态。同时，棱的位置态也完全可以转出12！种，其中一半与相应的一半角位置态组合，另一半与相应的另一半角位置态组合。

所以，不需要另外从什么地方去“进口”非法东西来的。或者说，8!和12！是土生土长、不请自来的。

色向态数3^7和棱向态数2^11就不同，正常魔方转不出3^8个角向态和2^12个棱向态的。

即使故意错装，例如，把好端端的六面复原的魔方，一个角错装为就地旋转120°，同时一个棱错装为就地翻转180°，这样的错角态和错棱态是无法相互帮忙的，所以整个魔方还是无法复原的。这和角棱位置态的扰动－扰动组合得到合法态不同。

我这些概念对不对？趁讨论得理理清楚才好。

[此贴子已经被作者于2006-12-7 21:31:37编辑过]

乌木

“1。三阶复原魔方任一面转90度，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？2。三阶复原魔方任意三个角块独立互换位置，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？”

好像“三阶复原魔方任一面转90°”和“三阶魔方任意三个角块轮换位置”所得的两种新状态本身都是“翘翘板”的结果（即，可以用“翘翘板”解释），而不是分别在这两个新态中另外去找什么“与之抵消的状态”。

“翘翘板”没有的含义，硬要“翘翘板”来交代？

乌木

100楼我说得不够清楚，再试试能否说清楚：

为了解释“任一态转某表层90°”的状态是如何“翘”出来的，请看：

原始角位置态为1234,1和2换的话，据“翘翘板”必有另一对换，选择3和4换，暂得到2143角位置态；

同时，原始棱位置态为abcd，a和b换，据“翘翘板”必有另一对换，选择c和d换，暂得到badc棱位置态；

再把2和4换，据“翘”必有另一对换，选择b和d换，最后得到4123＋dabc。

4123＋dabc与原始态1234＋abcd相比，互为广义的90°旋转。

当1234abcd都在同一层的话，就是物理上这一层旋转了90°。

“翘翘板”隐在内部；“一转”之中隐含几副“翘翘板”。

4.3×10^19个花样的每一个都可作类似的“翘析”。

“翘翘板”是魔方的“基本粒子”。

上面提到的是换位中的基本“翘”，还有别的基本“翘”。

[此贴子已经被作者于2006-12-9 19:56:39编辑过]

乌木

冬兄莫急，我并没有同意过诸如

“三阶复原魔方任一面转90度，那么在此状态中还存在与之抵消的状态。”

之类的错误叙述。